Posición relativa de rectas y plano paralelo

**(a) [5 puntos] La posición relativa de las dos rectas. Es decir, si son coincidentes, paralelas, se cortan, o se cruzan. En los dos últimos casos, especifica si lo hacen perpendicularmente.** Primero, obtenemos un punto y un vector director de cada recta. Para la recta $r$, dada en forma implícita: $$r : \begin{cases} x + 2y = -1 \\ z = 1 \end{cases}$$ Podemos parametrizarla haciendo $y = \lambda$: $$x = -1 - 2\lambda, \quad y = \lambda, \quad z = 1.$$ De aquí obtenemos: - Un punto $P_r(-1, 0, 1)$ - Un vector director $\vec{v}_r = (-2, 1, 0)$ Para la recta $s$, dada en forma continua: $$s : \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{1}$$ De aquí obtenemos directamente: - Un punto $P_s(-1, 1, 0)$ - Un vector director $\vec{v}_s = (1, 2, 1)$ 💡 **Tip:** Para obtener el vector director de una recta en forma continua $\frac{x-x_0}{u_1} = \frac{y-y_0}{u_2} = \frac{z-z_0}{u_3}$, basta con mirar los denominadores.

Para determinar la posición relativa, analizamos la dependencia lineal de los vectores directores $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$. Comprobamos si son proporcionales: $$\frac{-2}{1} \neq \frac{1}{2} \neq \frac{0}{1}$$ Como no son proporcionales, las rectas **no son paralelas ni coincidentes**. Por tanto, se cortan o se cruzan. Calculamos el vector que une un punto de cada recta: $$\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (-1 - (-1), 1 - 0, 0 - 1) = (0, 1, -1)$$ Analizamos el determinante de la matriz formada por $\vec{v}_r$, $\vec{v}_s$ y $\vec{P_r P_s}$: $$\text{det}(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}) = \begin{vmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculamos mediante la regla de Sarrus: $$= [(-2) \cdot 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \cdot 1] - [0 \cdot 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot (-2) + (-1) \cdot 1 \cdot 1]$$ $$= [4 + 0 + 0] - [0 - 2 - 1] = 4 - (-3) = 7$$ Como el determinante es distinto de cero ($7 \neq 0$), los tres vectores son linealmente independientes, lo que implica que las rectas **se cruzan** en el espacio. 💡 **Tip:** Si el determinante fuera $0$, los vectores serían coplanarios y las rectas se cortarían en un punto.

El enunciado pide especificar si se cruzan perpendicularmente. Para ello, calculamos el producto escalar de sus vectores directores: $$\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s = (-2, 1, 0) \cdot (1, 2, 1) = (-2) \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = -2 + 2 + 0 = 0$$ Como el producto escalar es cero, los vectores directores son perpendiculares. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan perpendicularmente.}}$$

**(b) [5 puntos] La ecuación del plano que es paralelo a las dos rectas $r$ y $s$, y pasa por el punto $A = (2, 2, 1)$.** Si el plano $\pi$ es paralelo a las rectas $r$ y $s$, sus vectores directores $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$ están contenidos en la dirección del plano. Por tanto, el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$ se obtiene mediante el producto vectorial de ambos: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante desarrollando por la primera fila: $$\vec{n}_\pi = \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n}_\pi = \vec{i}(1-0) - \vec{j}(-2-0) + \vec{k}(-4-1) = (1, 2, -5)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ genera un vector perpendicular a ambos, ideal para hallar la normal de un plano a partir de sus direcciones.

Utilizamos el vector normal $\vec{n}_\pi = (1, 2, -5)$ y el punto $A(2, 2, 1)$ para hallar la ecuación general del plano: $$1(x - 2) + 2(y - 2) - 5(z - 1) = 0$$ Expandimos y simplificamos: $$x - 2 + 2y - 4 - 5z + 5 = 0$$ $$x + 2y - 5z - 1 = 0$$ ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{x + 2y - 5z - 1 = 0}$$