Geometría en el espacio: Triángulos, cuadrados y coplanaridad

**(a) [3 puntos] Demuestra que los tres puntos forman un triángulo rectángulo. Indica cuál de los 3 ángulos es recto.** Para demostrar que el triángulo es rectángulo, calcularemos los vectores que forman sus lados a partir de los puntos $P = (-1, 1, 1)$, $Q = (7, 1, 7)$ y $R = (-4, 1, 5)$. Calculamos los vectores directores de los lados que parten del punto $P$: $$\vec{PQ} = Q - P = (7 - (-1), 1 - 1, 7 - 1) = (8, 0, 6)$$ $$\vec{PR} = R - P = (-4 - (-1), 1 - 1, 5 - 1) = (-3, 0, 4)$$ Calculamos también el vector del tercer lado por si fuera necesario: $$\vec{QR} = R - Q = (-4 - 7, 1 - 1, 5 - 7) = (-11, 0, -2)$$ 💡 **Tip:** Un triángulo es rectángulo si el producto escalar de dos de sus vectores de lado es igual a cero, lo que indica que son perpendiculares ($90^\circ$).

Comprobamos si los vectores $\vec{PQ}$ y $\vec{PR}$ son perpendiculares calculando su producto escalar: $$\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = (8, 0, 6) \cdot (-3, 0, 4)$$ $$\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = 8 \cdot (-3) + 0 \cdot 0 + 6 \cdot 4 = -24 + 0 + 24 = 0$$ Como el producto escalar es **0**, los vectores $\vec{PQ}$ y $\vec{PR}$ son perpendiculares. Dado que el vértice común a ambos vectores es $P$, el ángulo recto se encuentra en dicho punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El triángulo es rectángulo con el ángulo recto en el vértice } P}$$

**(b) [3 puntos] ¿Se podría construir un cuadrado añadiendo un único nuevo vértice? Justifica la respuesta.** Para que los puntos $P, Q, R$ y un cuarto punto formen un cuadrado, es necesario que: 1. El triángulo original $PQR$ sea rectángulo (ya lo hemos comprobado en $P$). 2. Los dos catetos que forman el ángulo recto tengan la misma longitud (módulo). Calculamos la longitud de los catetos: $$|\vec{PQ}| = \sqrt{8^2 + 0^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 0 + 36} = \sqrt{100} = 10$$ $$|\vec{PR}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ Comparamos las longitudes: $$|\vec{PQ}| = 10 \neq |\vec{PR}| = 5$$ Como los lados no miden lo mismo, los puntos $P, Q$ y $R$ forman un triángulo rectángulo escaleno. Al añadir un cuarto punto, obtendríamos un rectángulo, pero nunca un cuadrado. 💡 **Tip:** Un cuadrado es un rombo (lados iguales) y un rectángulo (ángulos rectos) a la vez. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No, porque los catetos } PQ \text{ y } PR \text{ tienen distinta longitud (10 y 5).}}$$

**(c) [4 puntos] Prueba que, para cualquier valor de $a$ real, el punto $S = (a, 1, 0)$ es coplanario con $P, Q$ y $R$.** Observamos las coordenadas de los puntos dados: - $P = (-1, \mathbf{1}, 1)$ - $Q = (7, \mathbf{1}, 7)$ - $R = (-4, \mathbf{1}, 5)$ Todos los puntos tienen la coordenada $y = 1$. Esto significa que $P, Q$ y $R$ pertenecen al plano horizontal de ecuación: $$\pi: y = 1$$ Si analizamos el punto $S = (a, 1, 0)$, vemos que su coordenada $y$ es siempre $1$, independientemente del valor que tome el parámetro real $a$. Como $S$ cumple la ecuación del plano $\pi$ ($1 = 1$), el punto $S$ siempre pertenecerá al mismo plano que contiene a $P, Q$ y $R$. 💡 **Tip:** Si todos los puntos de un conjunto tienen una coordenada constante, están contenidos en un plano paralelo a uno de los planos coordenados.

Para una demostración más formal, cuatro puntos son coplanarios si el determinante formado por los vectores $\vec{PQ}$, $\vec{PR}$ y $\vec{PS}$ es cero. Calculamos $\vec{PS}$ siendo $S = (a, 1, 0)$: $$\vec{PS} = S - P = (a - (-1), 1 - 1, 0 - 1) = (a+1, 0, -1)$$ Formamos el determinante con los vectores calculados anteriormente: $$\text{det}(\vec{PQ}, \vec{PR}, \vec{PS}) = \begin{vmatrix} 8 & 0 & 6 \\ -3 & 0 & 4 \\ a+1 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Como el determinante tiene una columna completa de ceros (la segunda columna, correspondiente a la componente $y$), su valor es **0** para cualquier valor de $a$. $$\text{det} = 0 \cdot \text{Adjunto} = 0$$ Por tanto, los vectores son linealmente dependientes y los puntos son coplanarios. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El punto } S(a,1,0) \text{ es coplanario con } P, Q, R \text{ porque todos están en el plano } y=1}$$