Operaciones con matrices, rango e inversa

**(a) [4 puntos] Calcula la matriz $B = 3A - kI_3$, indicando su expresión en función del parámetro real $k$.** Para calcular $B$, multiplicamos la matriz $A$ por el escalar $3$ y restamos el producto del parámetro $k$ por la matriz identidad $I_3$: $$B = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} - k \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos los productos por escalares: $$B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & 0 \\ -6 & 3 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} k & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & k \end{pmatrix}$$ Realizamos la resta elemento a elemento: $$B = \begin{pmatrix} 3-k & 0 & 0 \\ 6 & 0-k & 0 \\ -6 & 3 & 3-k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-k & 0 & 0 \\ 6 & -k & 0 \\ -6 & 3 & 3-k \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para sumar o restar matrices, estas deben tener la misma dimensión y la operación se realiza posición a posición. ✅ **Resultado:** $$\boxed{B = \begin{pmatrix} 3-k & 0 & 0 \\ 6 & -k & 0 \\ -6 & 3 & 3-k \end{pmatrix}}$$

**(b) [4 puntos] Discute el rango de la matriz $B$ según el parámetro $k$.** El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes. Para discutirlo en una matriz $3 \times 3$, primero calculamos su determinante $|B|$. Observamos que $B$ es una matriz triangular inferior (todos los elementos por encima de la diagonal principal son cero). En este caso, el determinante es simplemente el producto de los elementos de la diagonal principal: $$|B| = (3-k) \cdot (-k) \cdot (3-k) = -k(3-k)^2$$ 💡 **Tip:** Si no te das cuenta de que es triangular, puedes usar la regla de Sarrus o desarrollar por la primera fila: $$|B| = (3-k) \begin{vmatrix} -k & 0 \\ 3 & 3-k \end{vmatrix} = (3-k) [(-k)(3-k) - 0] = -k(3-k)^2$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$-k(3-k)^2 = 0 \implies k = 0, \quad k = 3$$ $$\boxed{|B| = -k(3-k)^2}$$

Analizamos los casos según el valor de $k$: **Caso 1: Si $k \neq 0$ y $k \neq 3$** En este caso, $|B| \neq 0$. Por lo tanto, las tres filas son linealmente independientes y el rango es máximo. **$$\text{rango}(B) = 3$$ **Caso 2: Si $k = 0$** Sustituimos $k=0$ en la matriz $B$: $$B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & 0 \\ -6 & 3 & 3 \end{pmatrix}$$ Como el determinante general es $0$, el rango es menor que $3$. Buscamos un menor de orden $2$ no nulo: $$\begin{vmatrix} 6 & 0 \\ -6 & 3 \end{vmatrix} = 18 \neq 0$$ Por tanto, hay al menos $2$ filas independientes. **$$\text{rango}(B) = 2$$ **Caso 3: Si $k = 3$** Sustituimos $k=3$ en la matriz $B$: $$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 6 & -3 & 0 \\ -6 & 3 & 0 \end{pmatrix}$$ La primera fila es nula. Las filas $2$ y $3$ son proporcionales ($F_3 = -F_2$). Por tanto, solo hay una fila linealmente independiente (por ejemplo, el menor $\begin{vmatrix} 6 \end{vmatrix} = 6 \neq 0$). **$$\text{rango}(B) = 1$$ 💡 **Tip:** El rango coincide con el orden del mayor menor no nulo que se pueda encontrar en la matriz. ✅ **Resumen del rango:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } k \neq 0, 3 & \text{rango}(B) = 3 \\ \text{Si } k = 0 & \text{rango}(B) = 2 \\ \text{Si } k = 3 & \text{rango}(B) = 1 \end{cases}}$$

**(c) [2 puntos] ¿Para qué valores de $k$ se puede calcular la inversa de $B$? Justifica la respuesta.** Una matriz cuadrada $B$ tiene inversa si y solo si es regular, es decir, su determinante es distinto de cero ($|B| \neq 0$). Del estudio realizado en el apartado anterior, sabemos que: $$|B| = -k(3-k)^2$$ Para que la matriz sea invertible, se debe cumplir: $$-k(3-k)^2 \neq 0 \implies k \neq 0 \text{ y } k \neq 3$$ Justificación: Una matriz es invertible si su rango es máximo (igual a su orden). Hemos visto que el rango de $B$ es $3$ solo cuando $k$ es distinto de $0$ y $3$. 💡 **Tip:** Recuerda la propiedad fundamental: $B \text{ es invertible } \iff \det(B) \neq 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{k \in \mathbb{R} \setminus \{0, 3\}}$$