Operaciones matriciales y resolución de ecuaciones matriciales

**(a) [3 puntos] Calcula la matriz $M = A^\top A - BB^\top$, donde $A^\top$ y $B^\top$ representan las matrices traspuestas de $A$ y $B$ respectivamente.** Primero obtenemos las matrices traspuestas intercambiando filas por columnas: $$A^\top = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad B^\top = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos los productos matriciales: 1. $A^\top A$: $$A^\top A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(1) + (-1)(-1) & 1(1) + (-1)(-1) \\ 1(1) + (-1)(-1) & 1(1) + (-1)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$$ 2. $BB^\top$: $$BB^\top = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0(0) & 0(1) \\ 1(0) & 1(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al trasponer una matriz, la primera fila pasa a ser la primera columna. En el producto de matrices, multiplicamos filas de la primera por columnas de la segunda.

Restamos los resultados obtenidos en el paso anterior para hallar $M$: $$M = A^\top A - BB^\top = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-0 & 2-0 \\ 2-0 & 2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado del apartado (a):** $$\boxed{M = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}}$$

**(b) [3 puntos] Justifica si $M$ es o no invertible. En caso afirmativo, resuelve los sistemas de ecuaciones [...] para calcular la inversa de la matriz $M$.** Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos $|M|$: $$|M| = \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (2 \cdot 1) - (2 \cdot 2) = 2 - 4 = -2$$ Como $|M| = -2 \neq 0$, la matriz **$M$ es invertible**. 💡 **Tip:** Si el determinante fuera cero, el sistema no tendría solución única y la matriz no tendría inversa.

Resolvemos el primer sistema para hallar $a$ y $c$: $$\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \implies \begin{cases} 2a + 2c = 1 \\ 2a + c = 0 \end{cases}$$ De la segunda ecuación: $c = -2a$. Sustituimos en la primera: $$2a + 2(-2a) = 1 \implies 2a - 4a = 1 \implies -2a = 1 \implies \mathbf{a = -1/2}$$ Entonces, $c = -2(-1/2) \implies \mathbf{c = 1}$. Resolvemos el segundo sistema para hallar $b$ y $d$: $$\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \implies \begin{cases} 2b + 2d = 0 \\ 2b + d = 1 \end{cases}$$ De la primera ecuación: $2b = -2d \implies b = -d$. Sustituimos en la segunda: $$2(-d) + d = 1 \implies -2d + d = 1 \implies -d = 1 \implies \mathbf{d = -1}$$ Entonces, $b = -(-1) \implies \mathbf{b = 1}$.

La candidata a matriz inversa es $M^{-1} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$. Comprobamos que $M \cdot M^{-1} = I$: $$M \cdot M^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1/2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(-1/2)+2(1) & 2(1)+2(-1) \\ 2(-1/2)+1(1) & 2(1)+1(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1+2 & 2-2 \\ -1+1 & 2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado del apartado (b):** $$\boxed{M^{-1} = \begin{pmatrix} -1/2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}}$$

**(c) [4 puntos] Calcula la matriz $X$ que cumple la igualdad $XM + A = C$.** Despejamos la matriz $X$ siguiendo las reglas del álgebra matricial: $$XM + A = C \implies XM = C - A$$ Multiplicamos por la derecha por $M^{-1}$: $$XMM^{-1} = (C - A)M^{-1} \implies X = (C - A)M^{-1}$$ Primero calculamos $(C - A)$: $$C - A = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-1 & -2-1 \\ -2-(-1) & 0-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Es crucial multiplicar por $M^{-1}$ por la **derecha**, ya que el producto de matrices no es conmutativo ($XM \cdot M^{-1} \neq M^{-1} \cdot XM$).

Multiplicamos la matriz resultante por $M^{-1}$ obtenida en el apartado (b): $$X = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1/2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(-1/2)+(-3)(1) & 1(1)+(-3)(-1) \\ (-1)(-1/2)+1(1) & (-1)(1)+1(-1) \end{pmatrix}$$ Realizamos las operaciones: $$x_{11} = -1/2 - 3 = -7/2$$ $$x_{12} = 1 + 3 = 4$$ $$x_{21} = 1/2 + 1 = 3/2$$ $$x_{22} = -1 - 1 = -2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -7/2 & 4 \\ 3/2 & -2 \end{pmatrix}}$$