Distribución Normal: Cantidad de agua en botellas

**a) Si elegimos al azar una de las botellas, ¿cuál es la probabilidad de que lleve entre 499 y 502 mililitros?** Primero, definimos la variable aleatoria $X$ que representa la cantidad de agua en mililitros de una botella: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(500, 4)$$ Donde la media es $\mu = 500$ y la desviación típica es $\sigma = 4$. Para calcular probabilidades en una distribución normal, debemos **tipificar** la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que tipificar nos permite usar las tablas de la normal estándar $N(0, 1)$ para hallar áreas bajo la curva.

Queremos hallar $P(499 \le X \le 502)$. Tipificamos ambos valores: - Para $x_1 = 499 \implies z_1 = \frac{499 - 500}{4} = -0.25$ - Para $x_2 = 502 \implies z_2 = \frac{502 - 500}{4} = 0.5$ La probabilidad buscada es: $$P(499 \le X \le 502) = P(-0.25 \le Z \le 0.5)$$ $$P(-0.25 \le Z \le 0.5) = p(Z \le 0.5) - p(Z \le -0.25)$$ Para valores negativos, usamos la simetría de la normal: $p(Z \le -z) = 1 - p(Z \le z)$. $$P(-0.25 \le Z \le 0.5) = p(Z \le 0.5) - [1 - p(Z \le 0.25)]$$ Consultamos los valores en la tabla $N(0, 1)$: - $p(Z \le 0.5) = 0.6915$ - $p(Z \le 0.25) = 0.5987$ Sustituimos: $$P = 0.6915 - (1 - 0.5987) = 0.6915 - 0.4013 = 0.2902$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(499 \le X \le 502) = 0.2902}$$

**b) ¿Cuál es la cantidad de agua, en mililitros, excedida por el 97,5% de estas botellas?** Buscamos un valor $k$ tal que la probabilidad de que una botella tenga más de $k$ mililitros sea del $97,5\%$. Es decir: $$P(X \gt k) = 0.975$$ Tipificamos el valor $k$ llamando $z_0 = \frac{k - 500}{4}$: $$P(Z \gt z_0) = 0.975$$ Pasamos a la probabilidad acumulada hacia la izquierda (menor o igual): $$1 - p(Z \le z_0) = 0.975 \implies p(Z \le z_0) = 1 - 0.975 = 0.025$$ 💡 **Tip:** Como $0.025$ es menor que $0.5$, el valor de $z_0$ debe ser negativo. Por simetría, buscamos el valor positivo $z_1$ tal que $p(Z \le z_1) = 1 - 0.025 = 0.975$.

Buscamos $0.975$ en el interior de la tabla de la distribución normal estándar: $$p(Z \le z_1) = 0.975 \implies z_1 = 1.96$$ Por lo tanto, nuestro valor tipificado es el simétrico negativo: $$z_0 = -1.96$$ Ahora deshacemos el cambio (destipificamos) para hallar $k$: $$z_0 = \frac{k - 500}{4} \implies -1.96 = \frac{k - 500}{4}$$ $$k - 500 = -1.96 \cdot 4$$ $$k - 500 = -7.84$$ $$k = 500 - 7.84 = 492.16$$ La cantidad de agua excedida por el $97,5\%$ de las botellas es $492.16$ ml. ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = 492.16 \text{ ml}}$$