Probabilidad: Sucesos independientes e incompatibles

**a) Suponiendo que $A$ y $B$ son sucesos independientes, calcule $P(A \cup B)$ y $P(\overline{A} | (\overline{A} \cup \overline{B}))$.** Si dos sucesos $A$ y $B$ son **independientes**, la probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades individuales: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$$ Ahora, calculamos la probabilidad de la unión utilizando la fórmula general: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituyendo los valores: $$P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la independencia implica $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Esto no debe confundirse con la incompatibilidad. ✅ **Resultado (unión):** $$\boxed{P(A \cup B) = \frac{2}{3}}$$

Para calcular $P(\overline{A} | (\overline{A} \cup \overline{B}))$, usamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(\overline{A} | (\overline{A} \cup \overline{B})) = \frac{P(\overline{A} \cap (\overline{A} \cup \overline{B}))}{P(\overline{A} \cup \overline{B})}$$ Analizamos el numerador y el denominador por separado: 1. **Numerador:** Por la propiedad de absorción de la teoría de conjuntos, $\overline{A} \cap (\overline{A} \cup \overline{B}) = \overline{A}$. $$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$ 2. **Denominador:** Usamos las leyes de De Morgan: $\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$. $$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(\overline{A \cap B}) = 1 - P(A \cap B) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$$ Sustituimos en la fórmula: $$P(\overline{A} | (\overline{A} \cup \overline{B})) = \frac{2/3}{5/6} = \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0.8$$ 💡 **Tip:** Las leyes de De Morgan son fundamentales: $\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$ y $\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$. ✅ **Resultado (condicionada):** $$\boxed{P(\overline{A} | (\overline{A} \cup \overline{B})) = \frac{4}{5} = 0.8}$$

**b) Suponiendo que $A$ y $B$ son sucesos incompatibles, calcule $P(A \cup B)$ y $P(\overline{A} | (\overline{A} \cup \overline{B}))$.** Si dos sucesos son **incompatibles** (o mutuamente excluyentes), no pueden ocurrir al mismo tiempo, por lo que su intersección es el suceso vacío: $$A \cap B = \emptyset \implies P(A \cap B) = 0$$ Calculamos la probabilidad de la unión: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 0 = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$$ 💡 **Tip:** Sucesos incompatibles significa que si ocurre uno, no puede ocurrir el otro. Matemáticamente: $P(A \cap B) = 0$. ✅ **Resultado (unión):** $$\boxed{P(A \cup B) = \frac{5}{6}}$$

Calculamos de nuevo $P(\overline{A} | (\overline{A} \cup \overline{B}))$, pero bajo la premisa de incompatibilidad: $$P(\overline{A} | (\overline{A} \cup \overline{B})) = \frac{P(\overline{A} \cap (\overline{A} \cup \overline{B}))}{P(\overline{A} \cup \overline{B})}$$ 1. **Numerador:** Como antes, $\overline{A} \cap (\overline{A} \cup \overline{B}) = \overline{A}$. $$P(\overline{A}) = \frac{2}{3}$$ 2. **Denominador:** Como $P(A \cap B) = 0$: $$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 1 - P(A \cap B) = 1 - 0 = 1$$ Sustituimos los valores: $$P(\overline{A} | (\overline{A} \cup \overline{B})) = \frac{2/3}{1} = \frac{2}{3}$$ 💡 **Tip:** En este caso, el denominador es 1 porque si $A$ y $B$ no pueden ocurrir a la vez ($P(A \cap B)=0$), entonces siempre ocurrirá al menos el complementario de $A$ o el complementario de $B$ ($P(\overline{A} \cup \overline{B})=1$). ✅ **Resultado (condicionada):** $$\boxed{P(\overline{A} | (\overline{A} \cup \overline{B})) = \frac{2}{3}}$$