Geometría: Plano por tres puntos y recta perpendicular

**a) Considérense los puntos $Q(-1,3, -5)$, $R(3,1,0)$ y $S(0,1,2)$. Obtenga la ecuación implícita o general del plano $\pi$ que contiene a $Q$, $R$ y $S$.** Para determinar la ecuación de un plano necesitamos un punto y dos vectores directores que no sean proporcionales. Utilizaremos el punto $Q$ y los vectores $\vec{QR}$ y $\vec{QS}$. Calculamos los vectores: $$\vec{QR} = R - Q = (3 - (-1), 1 - 3, 0 - (-5)) = (4, -2, 5)$$ $$\vec{QS} = S - Q = (0 - (-1), 1 - 3, 2 - (-5)) = (1, -2, 7)$$ Como los vectores $(4, -2, 5)$ y $(1, -2, 7)$ no son proporcionales (sus coordenadas no guardan la misma relación: $\frac{4}{1} \neq \frac{-2}{-2}$), estos vectores definen el plano. 💡 **Tip:** Para hallar un vector entre dos puntos $A$ y $B$, restamos el origen del extremo: $\vec{AB} = B - A$.

La ecuación general del plano se obtiene al igualar a cero el determinante formado por un punto genérico $X(x, y, z)$ y los elementos obtenidos: $$\det(\vec{QX}, \vec{QR}, \vec{QS}) = 0 \implies \begin{vmatrix} x - (-1) & y - 3 & z - (-5) \\ 4 & -2 & 5 \\ 1 & -2 & 7 \end{vmatrix} = 0$$ $$\begin{vmatrix} x + 1 & y - 3 & z + 5 \\ 4 & -2 & 5 \\ 1 & -2 & 7 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante por la primera fila (adjuntos): $$(x+1) \begin{vmatrix} -2 & 5 \\ -2 & 7 \end{vmatrix} - (y-3) \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 1 & 7 \end{vmatrix} + (z+5) \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 0$$ Calculamos los determinantes $2 \times 2$: $$(x+1)(-14 - (-10)) - (y-3)(28 - 5) + (z+5)(-8 - (-2)) = 0$$ $$(x+1)(-4) - (y-3)(23) + (z+5)(-6) = 0$$ Expandimos y simplificamos: $$-4x - 4 - 23y + 69 - 6z - 30 = 0$$ $$-4x - 23y - 6z + 35 = 0$$ Multiplicamos por $-1$ para obtener una expresión más estética: ✅ **Resultado (Ecuación del plano):** $$\boxed{\pi: 4x + 23y + 6z - 35 = 0}$$

**b) Obtenga las ecuaciones paramétricas y la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $P(3, -1, -1)$ y sea perpendicular al plano $\pi: 4x + 23y + 6z - 35 = 0$.** Si una recta $r$ es perpendicular a un plano $\pi$, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ debe tener la misma dirección que el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. Dada la ecuación del plano $4x + 23y + 6z - 35 = 0$, su vector normal es: $$\vec{n}_\pi = (4, 23, 6)$$ Por tanto, tomamos como vector director de la recta: $$\vec{v}_r = (4, 23, 6)$$ La recta debe pasar por el punto $P(3, -1, -1)$. 💡 **Tip:** El vector normal de un plano $\pi: Ax + By + Cz + D = 0$ es siempre $\vec{n} = (A, B, C)$.

Con el punto $P(3, -1, -1)$ y el vector director $\vec{v}_r = (4, 23, 6)$, escribimos las ecuaciones: **Ecuaciones paramétricas:** $$\begin{cases} x = 3 + 4\lambda \\ y = -1 + 23\lambda \\ z = -1 + 6\lambda \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}$$ **Ecuación continua:** Para la ecuación continua, despejamos $\lambda$ e igualamos: $$\frac{x - 3}{4} = \frac{y - (-1)}{23} = \frac{z - (-1)}{6}$$ ✅ **Resultados finales:** $$\boxed{\text{Paramétricas: } \begin{cases} x = 3 + 4\lambda \\ y = -1 + 23\lambda \\ z = -1 + 6\lambda \end{cases}} \quad \boxed{\text{Continua: } \frac{x - 3}{4} = \frac{y + 1}{23} = \frac{z + 1}{6}}$$