Recta contenida en un plano y distancia punto-plano

**a) Considérese el plano $\pi: 4x + 2y + bz = 2$ y la recta $r: \frac{x-2}{3} = \frac{y-c}{2} = \frac{z-3}{4}$, donde $b$ y $c$ son parámetros reales. Calcule los valores que tienen que tomar $b$ y $c$ para que la recta $r$ esté contenida en $\pi$.** Para que la recta $r$ esté contenida en el plano $\pi$ ($r \subset \pi$), deben cumplirse dos condiciones simultáneamente: 1. El vector director de la recta $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. Es decir, $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$. 2. Cualquier punto de la recta $P_r$ debe pertenecer al plano $\pi$. Extraemos los elementos de las ecuaciones dadas: - Del plano $\pi$: El vector normal es $\vec{n}_\pi = (4, 2, b)$. - De la recta $r$: Un punto es $P_r(2, c, 3)$ y su vector director es $\vec{v}_r = (3, 2, 4)$. 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación continua de la recta $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

Aplicamos la condición de que el vector director de la recta sea perpendicular al vector normal del plano: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$$ $$(3, 2, 4) \cdot (4, 2, b) = 0$$ Realizamos el producto escalar: $$3 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + 4 \cdot b = 0$$ $$12 + 4 + 4b = 0$$ $$16 + 4b = 0$$ $$4b = -16 \implies b = -4$$ $$\boxed{b = -4}$$

Una vez hallado $b$, la ecuación del plano es $\pi: 4x + 2y - 4z = 2$. Para que $r$ esté contenida en $\pi$, el punto $P_r(2, c, 3)$ debe satisfacer la ecuación del plano: $$4(2) + 2(c) - 4(3) = 2$$ $$8 + 2c - 12 = 2$$ $$2c - 4 = 2$$ $$2c = 6 \implies c = 3$$ 💡 **Tip:** Si una recta no es paralela al plano ni está contenida en él, se cortarán en un punto. Si el vector director y el normal son perpendiculares, la recta o es paralela al plano o está contenida en él. ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{b = -4, \quad c = 3}$$

**b) Calcule la distancia del punto $P(1,3,1)$ al plano $\pi': 4x + 2y - 4z = 2$.** Primero, expresamos el plano $\pi'$ en su forma general $Ax + By + Cz + D = 0$: $$\pi': 4x + 2y - 4z - 2 = 0$$ La fórmula para la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano es: $$d(P, \pi') = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos las coordenadas de $P(1, 3, 1)$ y los coeficientes del plano: $$d(P, \pi') = \frac{|4(1) + 2(3) - 4(1) - 2|}{\sqrt{4^2 + 2^2 + (-4)^2}}$$ Calculamos el numerador y el denominador: $$d(P, \pi') = \frac{|4 + 6 - 4 - 2|}{\sqrt{16 + 4 + 16}} = \frac{|4|}{\sqrt{36}} = \frac{4}{6}$$ Simplificamos la fracción: $$d(P, \pi') = \frac{2}{3} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{d(P, \pi') = \frac{2}{3}}$$