Cálculo de límites mediante la regla de L'Hôpital

**a) $\lim_{x o 0} \frac{\sin x - \ln(1+x)}{x \sin x}$.** En primer lugar, evaluamos el límite sustituyendo $x=0$ para comprobar si existe una indeterminación: $$\lim_{x o 0} \frac{\sin(0) - \ln(1+0)}{0 \cdot \sin(0)} = \frac{0 - 0}{0} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Como obtenemos la indeterminación $\frac{0}{0}$, podemos aplicar la **regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador de forma independiente. 💡 **Tip:** Recuerda que para aplicar L'Hôpital el límite debe presentar la forma $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ y las funciones deben ser derivables en el entorno del punto.

Derivamos el numerador y el denominador: - Numerador: $(\sin x - \ln(1+x))' = \cos x - \frac{1}{1+x}$. - Denominador (usando la regla del producto): $(x \sin x)' = 1 \cdot \sin x + x \cos x = \sin x + x \cos x$. El límite queda: $$\lim_{x o 0} \frac{\cos x - \frac{1}{1+x}}{\sin x + x \cos x}$$ Evaluamos de nuevo en $x=0$: $$\frac{\cos(0) - \frac{1}{1+0}}{\sin(0) + 0 \cdot \cos(0)} = \frac{1 - 1}{0 + 0} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Como persiste la indeterminación, aplicamos la **regla de L'Hôpital por segunda vez**.

Derivamos de nuevo: - Numerador: $\left(\cos x - (1+x)^{-1}\right)' = -\sin x + (1+x)^{-2} = -\sin x + \frac{1}{(1+x)^2}$. - Denominador: $(\sin x + x \cos x)' = \cos x + (1 \cdot \cos x + x(-\sin x)) = 2 \cos x - x \sin x$. Calculamos el límite resultante: $$\lim_{x o 0} \frac{-\sin x + \frac{1}{(1+x)^2}}{2 \cos x - x \sin x} = \frac{-\sin(0) + \frac{1}{(1+0)^2}}{2 \cos(0) - 0 \cdot \sin(0)} = \frac{0 + 1}{2(1) - 0} = \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{\lim_{x o 0} \frac{\sin x - \ln(1+x)}{x \sin x} = \frac{1}{2}}$$

**b) $\lim_{x o 0} \frac{e^{\sin x} - e^x}{x^2}$.** Evaluamos el límite en $x=0$: $$\lim_{x o 0} \frac{e^{\sin(0)} - e^0}{0^2} = \frac{e^0 - e^0}{0} = \frac{1 - 1}{0} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Nuevamente, aplicamos la **regla de L'Hôpital** derivando numerador y denominador. 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de la función exponencial es $(e^{u})' = u' e^u$.

Derivamos las funciones: - Numerador: $(e^{\sin x} - e^x)' = e^{\sin x} \cos x - e^x$. - Denominador: $(x^2)' = 2x$. Planteamos el nuevo límite: $$\lim_{x o 0} \frac{e^{\sin x} \cos x - e^x}{2x}$$ Evaluamos en $x=0$: $$\frac{e^{\sin(0)} \cos(0) - e^0}{2(0)} = \frac{1 \cdot 1 - 1}{0} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ La indeterminación persiste, por lo que aplicamos **L'Hôpital por segunda vez**.

Derivamos de nuevo (teniendo cuidado con el producto en el numerador): - Numerador: $(e^{\sin x} \cos x - e^x)' = (e^{\sin x} \cos x) \cos x + e^{\sin x} (-\sin x) - e^x = e^{\sin x} \cos^2 x - e^{\sin x} \sin x - e^x$. - Denominador: $(2x)' = 2$. Sustituimos el valor $x=0$ en el límite: $$\lim_{x o 0} \frac{e^{\sin x} \cos^2 x - e^{\sin x} \sin x - e^x}{2} = \frac{e^0 \cdot 1^2 - e^0 \cdot 0 - e^0}{2} = \frac{1 - 0 - 1}{2} = \frac{0}{2} = 0$$ ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{\lim_{x o 0} \frac{e^{\sin x} - e^x}{x^2} = 0}$$