Teoremas de Rolle y Bolzano e Integración por partes

**a) Enuncie los teoremas de Rolle y de Bolzano.** El **Teorema de Bolzano** establece las condiciones para asegurar la existencia de al menos una raíz (un cero) de una función en un intervalo: Sea $f(x)$ una función continua en un intervalo cerrado $[a, b]$. Si los valores de la función en los extremos del intervalo tienen signos distintos, es decir, $f(a) \cdot f(b) < 0$, entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que: $$f(c) = 0$$ Geométricamente, esto significa que si una función continua pasa de un valor negativo a uno positivo (o viceversa), necesariamente debe cruzar el eje $X$ en algún punto intermedio. 💡 **Tip:** Recuerda que la continuidad es una condición indispensable; si la función tiene un salto, podría pasar de positivo a negativo sin pasar por el cero.

El **Teorema de Rolle** es un caso particular del Teorema del Valor Medio y se enuncia de la siguiente manera: Sea $f(x)$ una función que cumple las siguientes tres condiciones: 1. Es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$. 2. Es derivable en el intervalo abierto $(a, b)$. 3. Los valores de la función en los extremos son iguales, es decir, $f(a) = f(b)$. Entonces, existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que su derivada es nula: $$f'(c) = 0$$ Geométricamente, esto indica que existe al menos un punto en el intervalo donde la recta tangente a la gráfica es horizontal. 💡 **Tip:** El Teorema de Rolle garantiza la existencia de, al menos, un máximo o un mínimo relativo en el interior del intervalo si la función no es constante.

**b) Calcule $\int x^3 e^{x^2} dx$.** Para resolver esta integral, observamos que tenemos una función compuesta $e^{x^2}$ multiplicada por una potencia de $x$. Aunque podríamos intentar un cambio de variable, resulta más directo aplicar el método de **integración por partes** descomponiendo el integrando de forma estratégica. Reescribimos el integrando para facilitar la elección de las partes: $$\int x^3 e^{x^2} dx = \int x^2 \cdot (x e^{x^2}) dx$$ Elegimos las partes $u$ y $dv$: - Llamamos $u = x^2$, de modo que al derivar bajamos el grado del polinomio: $du = 2x \, dx$. - Llamamos $dv = x e^{x^2} dx$. Para hallar $v$, debemos integrar esta expresión. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Primero calculamos $v = \int x e^{x^2} dx$. Esta es una integral casi inmediata de tipo exponencial: $$\int x e^{x^2} dx = \frac{1}{2} \int 2x e^{x^2} dx = \frac{1}{2} e^{x^2}$$ Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes con: - $u = x^2 \implies du = 2x \, dx$ - $dv = x e^{x^2} dx \implies v = \frac{1}{2} e^{x^2}$ Sustituyendo en la fórmula: $$\int x^2 (x e^{x^2}) dx = x^2 \left( \frac{1}{2} e^{x^2} \right) - \int \frac{1}{2} e^{x^2} (2x \, dx)$$ Simplificamos la expresión: $$\frac{1}{2} x^2 e^{x^2} - \int x e^{x^2} dx$$

La integral resultante es idéntica a la que calculamos para hallar $v$: $$\int x e^{x^2} dx = \frac{1}{2} e^{x^2}$$ Por tanto, la solución es: $$\frac{1}{2} x^2 e^{x^2} - \frac{1}{2} e^{x^2} + C$$ Podemos factorizar el término $\frac{1}{2} e^{x^2}$ para dejar el resultado más elegante: $$\frac{1}{2} e^{x^2} (x^2 - 1) + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int x^3 e^{x^2} dx = \frac{x^2 - 1}{2} e^{x^2} + C}$$ 💡 **Tip:** Siempre puedes comprobar el resultado derivando la función obtenida; aplicando la regla del producto deberías recuperar el integrando original $x^3 e^{x^2}$.