Discusión de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

Para discutir el sistema según el parámetro $m$, primero escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} m & m+2 & 1 \\ 2m & 3m & 2 \\ 0 & m-4 & m \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} m & m+2 & 1 & | & 3 \\ 2m & 3m & 2 & | & 5 \\ 0 & m-4 & m & | & m \end{pmatrix}$$ El estudio se basará en comparar el rango de estas matrices utilizando el **Teorema de Rouché-Frobenius**.

Calculamos el determinante de $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} m & m+2 & 1 \\ 2m & 3m & 2 \\ 0 & m-4 & m \end{vmatrix}$$ $$|A| = [m \cdot 3m \cdot m + (m+2) \cdot 2 \cdot 0 + 1 \cdot 2m \cdot (m-4)] - [0 \cdot 3m \cdot 1 + (m-4) \cdot 2 \cdot m + m \cdot 2m \cdot (m+2)]$$ $$|A| = [3m^3 + 0 + 2m^2 - 8m] - [0 + 2m^2 - 8m + 2m^3 + 4m^2]$$ Simplificamos los términos: $$|A| = 3m^3 + 2m^2 - 8m - (2m^3 + 6m^2 - 8m)$$ $$|A| = 3m^3 - 2m^3 + 2m^2 - 6m^2 - 8m + 8m$$ $$|A| = m^3 - 4m^2$$ 💡 **Tip:** Factorizar el resultado facilita encontrar las raíces: $|A| = m^2(m - 4)$. $$\boxed{|A| = m^2(m - 4)}$$

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $m$ que hacen que el rango de $A$ sea menor que 3: $$|A| = 0 \implies m^2(m - 4) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: 1. $m^2 = 0 \implies m = 0$ (raíz doble) 2. $m - 4 = 0 \implies m = 4$ Estos valores dividen nuestro análisis en tres casos.

Si $m \neq 0$ y $m \neq 4$, entonces $|A| \neq 0$. En este caso: - $\text{rg}(A) = 3$ - $\text{rg}(A^*) = 3$ (ya que la matriz ampliada no puede tener un rango mayor que el número de filas o columnas) - El número de incógnitas es $n = 3$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n = 3$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m \in \mathbb{R} \setminus \{0, 4\}, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

Sustituimos $m = 0$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & | & 3 \\ 0 & 0 & 2 & | & 5 \\ 0 & -4 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$$ Como la primera columna es nula, $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 4 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2.$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ tomando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 5 \\ -4 & 0 & 0 \end{vmatrix} = -4 \cdot (5 - 6) = 4 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 3.$$ 💡 **Tip:** Hemos usado el desarrollo por la tercera fila porque tiene dos ceros. Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 0, \text{ el sistema es Incompatible (SI)}}$$

Sustituimos $m = 4$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 4 & 6 & 1 & | & 3 \\ 8 & 12 & 2 & | & 5 \\ 0 & 0 & 4 & | & 4 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 6 & 1 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = 24 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2.$$ Ahora comprobamos el rango de $A^*$ calculando un menor de orden 3 con la columna de términos independientes (columnas 1, 3 y 4): $$\begin{vmatrix} 4 & 1 & 3 \\ 8 & 2 & 5 \\ 0 & 4 & 4 \end{vmatrix} = 4(8 - 20) - 8(4 - 12) = 4(-12) - 8(-8) = -48 + 64 = 16 \neq 0$$ Como $16 \neq 0$, entonces $\text{rg}(A^*) = 3$. 💡 **Tip:** También se observa que las dos primeras filas en la matriz de coeficientes son proporcionales ($2 \cdot F_1 = F_2$), pero no ocurre lo mismo con sus términos independientes ($2 \cdot 3 = 6 \neq 5$), lo que ya indica que es incompatible. Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 4, \text{ el sistema es Incompatible (SI)}}$$

Resumiendo la discusión del sistema según los valores de $m$: - Si **$m \neq 0$ y $m \neq 4$**: Sistema **Compatible Determinado**. - Si **$m = 0$**: Sistema **Incompatible**. - Si **$m = 4$**: Sistema **Incompatible**. Esta clasificación agota todas las posibilidades para el parámetro $m$.