Sistema de ecuaciones matriciales y resolución de ecuación matricial

**a) Calcule $A^2$.** Para calcular $A^2$, primero debemos encontrar la matriz $A$ resolviendo el sistema de ecuaciones matriciales dado: 1) $A + 2B = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ 2) $A + B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ Podemos aplicar el método de reducción restando la segunda ecuación a la primera: $$(A + 2B) - (A + B) = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ $$B = \begin{pmatrix} 6-4 & -3-(-1) \\ 0-0 & 3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora despejamos $A$ de la segunda ecuación: $$A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} - B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$A = \begin{pmatrix} 4-2 & -1-(-2) \\ 0-0 & 2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Las operaciones con matrices (suma y resta) se realizan elemento a elemento. El sistema se resuelve igual que un sistema de ecuaciones lineales convencional.

Calculamos $A^2$ multiplicando la matriz $A$ por sí misma: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$A^2 = \begin{pmatrix} (2 \cdot 2 + 1 \cdot 0) & (2 \cdot 1 + 1 \cdot 1) \\ (0 \cdot 2 + 1 \cdot 0) & (0 \cdot 1 + 1 \cdot 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{A^2 = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

**b) Calcule la matriz $X$ que satisface la igualdad $A^2X - (A + B)^T = 3I - 2X$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 2 y $(A + B)^T$ la traspuesta de $(A + B)$.** Primero, aislamos los términos que contienen la matriz incógnita $X$ en un lado de la igualdad: $$A^2X + 2X = 3I + (A + B)^T$$ Extraemos factor común $X$ por la derecha: $$(A^2 + 2I)X = 3I + (A + B)^T$$ Para despejar $X$, multiplicamos por la izquierda por la inversa del paréntesis: $$X = (A^2 + 2I)^{-1} \cdot [3I + (A + B)^T]$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial, el orden de los factores importa. Como $X$ está a la derecha, debemos sacar factor común por la derecha y multiplicar por la inversa por la izquierda.

Calculamos las matrices auxiliares para simplificar el proceso. Llamemos $M = A^2 + 2I$: $$M = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$ Llamemos $N = 3I + (A + B)^T$. Sabemos por el enunciado que $A + B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, por lo que su traspuesta es $(A + B)^T = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$. $$N = 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$$ Ahora la ecuación es $MX = N$, por tanto **$X = M^{-1}N$**.

Calculamos la inversa de $M = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ usando la fórmula $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{Adj}(M)^T$. 1. Determinante de $M$: $$|M| = \begin{vmatrix} 6 & 3 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = (6 \cdot 3) - (3 \cdot 0) = 18$$ Como $|M| \neq 0$, la matriz es invertible. 2. Matriz de adjuntos $\text{Adj}(M)$: $Adj_{11} = 3; \quad Adj_{12} = 0; \quad Adj_{21} = -3; \quad Adj_{22} = 6$ $$\text{Adj}(M) = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -3 & 6 \end{pmatrix} \implies \text{Adj}(M)^T = \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$$ 3. Inversa de $M$: $$M^{-1} = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, la inversa se halla rápido intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando el signo a los de la secundaria y dividiendo por el determinante.

Finalmente, calculamos $X = M^{-1} \cdot N$: $$X = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} (3 \cdot 7 + (-3) \cdot (-1)) & (3 \cdot 0 + (-3) \cdot 5) \\ (0 \cdot 7 + 6 \cdot (-1)) & (0 \cdot 0 + 6 \cdot 5) \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 21+3 & -15 \\ -6 & 30 \end{pmatrix} = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 24 & -15 \\ -6 & 30 \end{pmatrix}$$ Simplificamos los elementos dividiendo por el máximo común divisor: $$X = \begin{pmatrix} \frac{24}{18} & -\frac{15}{18} \\ -\frac{6}{18} & \frac{30}{18} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4}{3} & -\frac{5}{6} \\ -\frac{1}{3} & \frac{5}{3} \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 4/3 & -5/6 \\ -1/3 & 5/3 \end{pmatrix}}$$