Distribución Normal: Durabilidad de aparatos electrónicos

Definimos la variable aleatoria $X$ como la durabilidad de un aparato electrónico en horas. El enunciado nos indica que $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(20000, 2500)$$ Donde la media es $\mu = 20000$ y la desviación típica es $\sigma = 2500$. Para calcular probabilidades en una normal cualquiera, debemos transformarla en una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante el proceso de **tipificación**: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ 💡 **Tip:** Tipificar nos permite usar las tablas de la normal estándar $N(0, 1)$ que suelen venir adjuntas en los exámenes.

**a) Si elegimos al azar uno de estos aparatos, ¿cuál es la probabilidad de que dure menos de 17000 horas?** Buscamos calcular $p(X \lt 17000)$. Tipificamos el valor: $$p(X \lt 17000) = p\left(Z \lt \frac{17000 - 20000}{2500}\right) = p\left(Z \lt \frac{-3000}{2500}\right) = p(Z \lt -1,2)$$ Como las tablas solo muestran valores positivos, aplicamos las propiedades de simetría de la campana de Gauss: 1. Por simetría: $p(Z \lt -1,2) = p(Z \gt 1,2)$ 2. Por el suceso contrario: $p(Z \gt 1,2) = 1 - p(Z \le 1,2)$ Buscamos el valor $1,2$ en la tabla $N(0, 1)$: $$p(Z \le 1,2) = 0,8849$$ Sustituimos: $$p(X \lt 17000) = 1 - 0,8849 = 0,1151$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{p(X \lt 17000) = 0,1151}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $p(Z \lt -a) = 1 - p(Z \le a)$ para cualquier valor positivo $a$.

**b) ¿Cuál es la durabilidad, en horas, excedida por el 98,5% de estos aparatos?** Nos piden encontrar un valor $x$ tal que la probabilidad de que un aparato dure más que ese tiempo sea del $98,5\%$. Es decir: $$p(X \gt x) = 0,985$$ Tipificamos la expresión: $$p\left(Z \gt \frac{x - 20000}{2500}\right) = 0,985$$ Llamemos $z_0 = \frac{x - 20000}{2500}$. Como el área a la derecha de $z_0$ es muy grande ($0,985 \gt 0,5$), sabemos que $z_0$ debe ser un valor negativo. Por simetría: $$p(Z \gt z_0) = 0,985 \implies p(Z \le -z_0) = 0,985$$ Buscamos el valor $0,985$ en el interior de la tabla de la normal estándar para hallar el valor crítico positivo $-z_0$: Encontramos que para una probabilidad de $0,9850$, el valor de $Z$ es **$2,17$**. Por tanto: $$-z_0 = 2,17 \implies z_0 = -2,17$$ Ahora deshacemos el cambio para hallar $x$: $$\frac{x - 20000}{2500} = -2,17$$ $$x - 20000 = -2,17 \cdot 2500$$ $$x - 20000 = -5425$$ $$x = 20000 - 5425 = 14575$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 14575 \text{ horas}}$$