Distribución Binomial: Probabilidad de huevos infértiles

Definimos la variable aleatoria $X$ como el **número de huevos infértiles en una puesta de 7 huevos**. Para cada huevo, solo hay dos posibilidades: ser infértil (éxito) o ser fértil (fracaso). Además, asumimos que el estado de cada huevo es independiente de los demás y que la probabilidad de ser infértil es constante. Estamos ante una **distribución Binomial** $B(n, p)$ con los siguientes parámetros: - $n = 7$ (número de huevos observados). - $p = 0.13$ (probabilidad de que un huevo sea infértil). - $q = 1 - p = 0.87$ (probabilidad de que un huevo sea fértil). Por tanto, $X \sim B(7, 0.13)$. 💡 **Tip:** Una distribución binomial se utiliza cuando realizamos $n$ ensayos independientes donde cada uno tiene solo dos posibles resultados.

El enunciado nos pide calcular la probabilidad de que haya **por lo menos 2 infértiles**, es decir, $P(X \ge 2)$. Calcular esto directamente implicaría sumar las probabilidades de $X=2, 3, 4, 5, 6$ y $7$. Es mucho más sencillo utilizar el **suceso contrario**: $$P(X \ge 2) = 1 - P(X \lt 2)$$ Como $X$ es una variable discreta, $P(X \lt 2)$ es la suma de las probabilidades de tener 0 o 1 huevo infértil: $$P(X \ge 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$$ 💡 **Tip:** Siempre que te pidan "al menos", "por lo menos" o "mínimo", comprueba si es más rápido calcularlo mediante el suceso complementario.

La fórmula general de la probabilidad binomial es: $$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ Calculamos **$P(X = 0)$**: $$P(X = 0) = \binom{7}{0} \cdot (0.13)^0 \cdot (0.87)^7 = 1 \cdot 1 \cdot 0.3773 = 0.3773$$ Calculamos **$P(X = 1)$**: $$P(X = 1) = \binom{7}{1} \cdot (0.13)^1 \cdot (0.87)^6 = 7 \cdot 0.13 \cdot 0.4336 = 0.3946$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\binom{n}{0} = 1$ y $\binom{n}{1} = n$.

Sumamos las probabilidades obtenidas en el paso anterior: $$P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.3773 + 0.3946 = 0.7719$$ Finalmente, aplicamos el suceso contrario para hallar la probabilidad pedida: $$P(X \ge 2) = 1 - 0.7719 = 0.2281$$ La probabilidad de que haya al menos 2 huevos infértiles es del **22.81%**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(X \ge 2) = 0.2281}$$