Geometría en el espacio: Rectas y planos

**Sean $r$ la recta que pasa por los puntos $A(-1,3, -5)$ y $B(1,2, -5)$ y $\pi$ el plano que pasa por el punto $C(5,0,1)$ y es perpendicular a $r$. Se piden las ecuaciones paramétricas de $r$**. Para determinar la ecuación de una recta necesitamos un punto y un vector director. 1. **Vector director de la recta ($\vec{v}_r$):** Podemos usar el vector que une los puntos $A$ y $B$. $$\vec{v}_r = \vec{AB} = B - A = (1 - (-1), 2 - 3, -5 - (-5)) = (2, -1, 0)$$ 2. **Punto de la recta:** Usaremos el punto $A(-1, 3, -5)$. Con estos elementos, escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta $r$: $$\begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = 3 - \lambda \\ z = -5 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las ecuaciones paramétricas de una recta que pasa por $P(x_0, y_0, z_0)$ con vector $\vec{v}(v_1, v_2, v_3)$ son $x=x_0+v_1\lambda, y=y_0+v_2\lambda, z=z_0+v_3\lambda$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{r: \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = 3 - \lambda \\ z = -5 \end{cases}}$$

**Calcula la ecuación implícita o general de $\pi$ sabiendo que pasa por $C(5,0,1)$ y es perpendicular a $r$.** Si el plano $\pi$ es perpendicular a la recta $r$, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ será el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. Del apartado anterior tenemos: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r = (2, -1, 0)$$ La ecuación general de un plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituyendo las coordenadas del vector normal: $$2x - y + 0z + D = 0 \implies 2x - y + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por el punto $C(5, 0, 1)$: $$2(5) - (0) + D = 0 \implies 10 + D = 0 \implies D = -10$$ La ecuación general del plano $\pi$ es: $$2x - y - 10 = 0$$ 💡 **Tip:** El vector normal $\vec{n}(A,B,C)$ a un plano $Ax+By+Cz+D=0$ siempre es perpendicular a cualquier vector contenido en dicho plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi: 2x - y - 10 = 0}$$

**Calcula el punto de corte de $r$ con $\pi$.** Para hallar el punto de intersección $P$, sustituimos las expresiones de las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ en la ecuación del plano $\pi$: $$2(-1 + 2\lambda) - (3 - \lambda) - 10 = 0$$ Resolvemos la ecuación para $\lambda$: $$-2 + 4\lambda - 3 + \lambda - 10 = 0$$ $$5\lambda - 15 = 0 \implies 5\lambda = 15 \implies \lambda = 3$$ Ahora, sustituimos el valor de $\lambda = 3$ en las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ para obtener las coordenadas del punto de corte $P$: - $x = -1 + 2(3) = -1 + 6 = 5$ - $y = 3 - (3) = 0$ - $z = -5$ El punto de corte es $P(5, 0, -5)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(5, 0, -5)}$$