Posición relativa de recta y plano. Plano perpendicular

**a) Estudiar la posición relativa de la recta $r$ y el plano $\pi$.** Primero, obtenemos el vector director de la recta $r$ a partir de los puntos $A$ y $B$: $$\vec{v}_r = \vec{AB} = B - A = (0 - 2, 1 - 1, 1 - 2) = (-2, 0, -1)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar el vector con signo opuesto: $\vec{v}_r = (2, 0, 1)$. Del plano $\pi: x + 2y - 2z = 0$, extraemos su vector normal: $$\vec{n}_\pi = (1, 2, -2)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta que pasa por dos puntos $A$ y $B$ es el vector que los une, $\vec{AB}$. El vector normal de un plano $Ax+By+Cz+D=0$ es siempre $(A, B, C)$.

Para estudiar la posición relativa, calculamos el producto escalar del vector director de la recta y el vector normal del plano: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (2, 0, 1) \cdot (1, 2, -2) = 2(1) + 0(2) + 1(-2) = 2 + 0 - 2 = 0$$ Como el producto escalar es cero, los vectores son perpendiculares, $\vec{v}_r \perp \vec{n}_\pi$. Esto significa que la recta $r$ es **paralela al plano** o está **contenida en él**. 💡 **Tip:** Si $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$, la recta no atraviesa el plano. Si fuera distinto de cero, se cortarían en un punto.

Para distinguir entre paralelismo y contención, comprobamos si un punto de la recta (por ejemplo, $A(2, 1, 2)$) pertenece al plano $\pi: x + 2y - 2z = 0$: $$2 + 2(1) - 2(2) = 2 + 2 - 4 = 0$$ Como el punto $A$ satisface la ecuación del plano, el punto pertenece a $\pi$. Al tener la recta un vector perpendicular a la normal del plano y un punto común, concluimos que la recta está contenida en el plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La recta } r \text{ está contenida en el plano } \pi}$$

**b) Obtener la ecuación implícita o general del plano que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$.** Sea $\pi'$ el plano que buscamos. Para determinarlo necesitamos un punto y dos vectores directores (o un punto y un vector normal). 1. Como contiene a $r$, pasa por el punto $A(2, 1, 2)$ y tiene como primer vector director $\vec{v}_r = (2, 0, 1)$. 2. Como es perpendicular a $\pi$, el vector normal de $\pi$, $\vec{n}_\pi = (1, 2, -2)$, debe ser paralelo al plano $\pi'$, por lo que sirve como segundo vector director. 💡 **Tip:** Si un plano es perpendicular a otro, el vector normal del primero es paralelo al segundo (y viceversa).

Calculamos el vector normal de $\pi'$, denotado como $\vec{n}_{\pi'}$, mediante el producto vectorial de sus dos vectores directores: $$\vec{n}_{\pi'} = \vec{v}_r \times \vec{n}_\pi = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus o desarrollo por filas: $$\vec{n}_{\pi'} = \mathbf{i}(0 \cdot (-2) - 1 \cdot 2) - \mathbf{j}(2 \cdot (-2) - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot 2 - 0 \cdot 1)$$ $$\vec{n}_{\pi'} = \mathbf{i}(-2) - \mathbf{j}(-4 - 1) + \mathbf{k}(4) = -2\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 4\mathbf{k}$$ $$\vec{n}_{\pi'} = (-2, 5, 4)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ genera un vector perpendicular a ambos, ideal para hallar la normal de un plano si conocemos dos direcciones contenidas en él.

Utilizamos el vector normal $\vec{n}_{\pi'} = (-2, 5, 4)$ y el punto $A(2, 1, 2)$: $$-2(x - 2) + 5(y - 1) + 4(z - 2) = 0$$ Desarrollamos los paréntesis: $$-2x + 4 + 5y - 5 + 4z - 8 = 0$$ $$-2x + 5y + 4z - 9 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para obtener una expresión más estándar: $$2x - 5y - 4z + 9 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{2x - 5y - 4z + 9 = 0}$$