Área entre una parábola y una recta con parámetro

Para hallar el área encerrada por dos curvas, el primer paso es determinar sus puntos de intersección, que nos darán los límites de integración. Igualamos las ecuaciones de la recta $y = -2x$ y la parábola $y = ax^2 + 4x$: $$ax^2 + 4x = -2x$$ Agrupamos todos los términos en un lado de la ecuación: $$ax^2 + 6x = 0$$ Factorizamos la expresión para encontrar las soluciones: $$x(ax + 6) = 0$$ Esto nos da dos posibles valores para $x$: 1. $x_1 = 0$ 2. $ax + 6 = 0 \implies x_2 = -\dfrac{6}{a}$ Como el enunciado indica que $a$ es un número **positivo** ($a \gt 0$), el punto $x_2 = -\dfrac{6}{a}$ será siempre un valor negativo. Por tanto, el intervalo de integración será $\left[-\dfrac{6}{a}, 0\right]$. $$\boxed{x_1 = 0, \quad x_2 = -\frac{6}{a}}$$

El área $A$ de la región encerrada entre dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ en un intervalo $[x_1, x_2]$ viene dada por la integral del valor absoluto de su diferencia: $$A = \int_{x_1}^{x_2} |f(x) - g(x)| \, dx$$ En el intervalo $\left[-\dfrac{6}{a}, 0\right]$, debemos determinar qué función queda por encima. Puesto que la parábola $y = ax^2 + 4x$ tiene el coeficiente de $x^2$ positivo ($a \gt 0$), es una parábola convexa (abre hacia arriba), lo que implica que en el recinto acotado la recta estará por encima de la parábola. Definimos la función diferencia $h(x) = (-2x) - (ax^2 + 4x) = -ax^2 - 6x$. El área es: $$A = \int_{-6/a}^{0} (-ax^2 - 6x) \, dx = 9$$ 💡 **Tip:** Si no estás seguro de cuál está por encima, puedes integrar la diferencia y tomar el valor absoluto del resultado final.

Calculamos la integral indefinida (la primitiva) y aplicamos la Regla de Barrow: $$\int (-ax^2 - 6x) \, dx = -\frac{ax^3}{3} - \frac{6x^2}{2} = -\frac{ax^3}{3} - 3x^2$$ Ahora evaluamos en los límites de integración $\left[-\dfrac{6}{a}, 0\right]$: $$A = \left[ -\frac{ax^3}{3} - 3x^2 \right]_{-6/a}^{0}$$ Sustituimos el límite superior (0): $$F(0) = -\frac{a(0)^3}{3} - 3(0)^2 = 0$$ Sustituimos el límite inferior $\left(-\dfrac{6}{a}\right)$: $$F\left(-\frac{6}{a}\right) = -\frac{a}{3} \left(-\frac{6}{a}\right)^3 - 3\left(-\frac{6}{a}\right)^2 = -\frac{a}{3} \left(-\frac{216}{a^3}\right) - 3\left(\frac{36}{a^2}\right)$$ $$F\left(-\frac{6}{a}\right) = \frac{216a}{3a^3} - \frac{108}{a^2} = \frac{72}{a^2} - \frac{108}{a^2} = -\frac{36}{a^2}$$ Finalmente, restamos según Barrow: $$A = F(0) - F\left(-\frac{6}{a}\right) = 0 - \left(-\frac{36}{a^2}\right) = \frac{36}{a^2}$$ $$\boxed{A = \frac{36}{a^2}}$$

Igualamos el resultado obtenido al valor del área dado en el enunciado ($A = 9$): $$\frac{36}{a^2} = 9$$ Despejamos $a^2$: $$36 = 9a^2 \implies a^2 = \frac{36}{9} \implies a^2 = 4$$ Esto nos da dos posibles soluciones para $a$: $$a = \sqrt{4} \implies a = \pm 2$$ Como el enunciado especifica que $a$ debe ser un **número positivo**, descartamos la solución negativa. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 2}$$