Continuidad y derivabilidad de una función a trozos con parámetros

**a) ¿Cuál es el valor de $k$ que hace que $f$ sea continua en $x = 0$ para cualquier valor de $b$?** Para que la función sea continua en $x = 0$, se deben cumplir tres condiciones: 1. Que exista $f(0)$. 2. Que exista el límite $\lim_{x \to 0} f(x)$. 3. Que $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$. Primero, calculamos el valor de la función en el punto usando la primera rama ($x \le 0$): $$f(0) = 0^2 + b(0) - 1 = -1.$$ Calculamos el límite por la izquierda: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x^2 + bx - 1) = -1.$$ 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si los límites laterales existen, son finitos e iguales al valor de la función en dicho punto.

Calculamos ahora el límite por la derecha usando la segunda rama ($x \gt 0$): $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{k - x e^x}{x}.$$ Si evaluamos el límite, el denominador tiende a $0$. Para que el límite sea un valor finito (requisito indispensable para la continuidad), el numerador también debe tender a $0$ en $x = 0$ (evitando una asíntota vertical). Por tanto: $$k - 0 \cdot e^0 = 0 \implies \mathbf{k = 0}.$$ Si $k = 0$, resolvemos la indeterminación $0/0$ simplificando la expresión: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{0 - x e^x}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-x e^x}{x} = \lim_{x \to 0^+} (-e^x) = -e^0 = -1.$$ Como el límite por la izquierda ($-1$), el límite por la derecha ($-1$) y el valor de la función ($-1$) coinciden independientemente del valor de $b$ (ya que el término $bx$ se anula en $x=0$): ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = 0}$$

**b) ¿Para qué valores de $b$ y $k$ es $f$ derivable en $x = 0$?** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser **continua** en dicho punto. Del apartado anterior, sabemos que para que $f$ sea continua en $x = 0$, es necesario que: $$\mathbf{k = 0}.$$ Con $k = 0$, la función queda definida como: $$f(x) = \begin{cases} x^2 + bx - 1 & \text{si } x \le 0, \\ -e^x & \text{si } x \gt 0. \end{cases}$$ 💡 **Tip:** No intentes calcular la derivabilidad sin haber asegurado la continuidad previa, ya que la derivabilidad implica continuidad, pero no al revés.

Para que sea derivable, las derivadas laterales en $x = 0$ deben existir y ser iguales ($f'(0^-) = f'(0^+)$). Calculamos la función derivada en los intervalos abiertos: $$f'(x) = \begin{cases} 2x + b & \text{si } x \lt 0, \\ -e^x & \text{si } x \gt 0. \end{cases}$$ Calculamos la derivada lateral por la izquierda: $$f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} (2x + b) = 2(0) + b = b.$$ Calculamos la derivada lateral por la derecha: $$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} (-e^x) = -e^0 = -1.$$ Para que exista la derivada en el punto: $$f'(0^-) = f'(0^+) \implies b = -1.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = 0, \quad b = -1}$$

A continuación, se muestra la representación gráfica de la función para los valores hallados $k=0$ y $b=-1$, donde se observa la suavidad de la curva en $x=0$, indicando su derivabilidad.