Discusión de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**Discuta, según los valores del parámetro $m$, el siguiente sistema: $$\begin{cases} 2x + y + z = m, \\ x - y + 2z = 2m, \\ mx + 3z = m. \end{cases}$$** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ m & 0 & 3 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & m \\ 1 & -1 & 2 & 2m \\ m & 0 & 3 & m \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, analizando el rango de estas matrices según el valor de $m$.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ y buscamos los valores de $m$ que lo anulan: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ m & 0 & 3 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la **regla de Sarrus**: $$|A| = [2 \cdot (-1) \cdot 3 + 1 \cdot 2 \cdot m + 1 \cdot 1 \cdot 0] - [1 \cdot (-1) \cdot m + 2 \cdot 1 \cdot 3 + 2 \cdot 0 \cdot 1]$$ $$|A| = [-6 + 2m + 0] - [-m + 6 + 0]$$ $$|A| = -6 + 2m + m - 6 = 3m - 12$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$3m - 12 = 0 \implies 3m = 12 \implies m = 4$$ 💡 **Tip:** El valor del determinante nos permite separar el estudio en dos casos: cuando el determinante es distinto de cero (rango máximo) y cuando es cero.

Si $m \neq 4$, el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero ($|A| \neq 0$). En este caso: - El rango de la matriz de coeficientes es $\text{rg}(A) = 3$. - Como la matriz ampliada $A^*$ es de dimensión $3 \times 4$, su rango máximo también es 3, por lo que $\text{rg}(A^*) = 3$. - El número de incógnitas es $n = 3$. Al cumplirse que $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n = 3$, por el **Teorema de Rouché-Frobenius**: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m \neq 4, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD).}}$$

Si $m = 4$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Veamos las matrices sustituyendo $m$: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 4 & 0 & 3 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 4 \\ 1 & -1 & 2 & 8 \\ 4 & 0 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$ **Rango de A:** Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 - 1 = -3 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ **Rango de A*:** Estudiamos el determinante formado por las columnas 1, 2 y 4 (sustituyendo la columna 3 por la de términos independientes): $$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 1 & -1 & 8 \\ 4 & 0 & 4 \end{vmatrix} = [2(-1)4 + 1(8)4 + 4(1)0] - [4(-1)4 + 8(0)2 + 1(1)4]$$ $$= [-8 + 32 + 0] - [-16 + 0 + 4] = 24 - (-12) = 36 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, entonces $\text{rg}(A^*) = 3$. 💡 **Tip:** Si el rango de la matriz de coeficientes es menor que el de la ampliada, el sistema no tiene solución. Al ser $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, por el **Teorema de Rouché-Frobenius**: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 4, \text{ el sistema es Incompatible (SI).}}$$