Conmutatividad de matrices y ecuaciones matriciales

**a) Calcule los valores de $x$ e $y$ que hacen que $A$ conmute con todas las matrices antisimétricas $X$ de orden 2, es decir, que hacen que se cumpla la igualdad $AX = XA$ para toda matriz antisimétrica $X$ de orden 2.** Una matriz $X$ es antisimétrica si se cumple que $X^T = -X$. Para una matriz de orden 2, esto significa que los elementos de la diagonal principal son nulos y los elementos fuera de la diagonal son opuestos: $$X = \begin{pmatrix} 0 & k \\ -k & 0 \end{pmatrix}$$ Para cualquier valor $k \in \mathbb{R}$. 💡 **Tip:** Recuerda que en las matrices antisimétricas $a_{ij} = -a_{ji}$, lo que implica que $a_{ii} = 0$.

Calculamos ambos productos de la igualdad $AX = XA$: 1. Producto $AX$: $$AX = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & k \\ -k & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 0 + 1 \cdot (-k) & 1 \cdot k + 1 \cdot 0 \\ x \cdot 0 + y \cdot (-k) & x \cdot k + y \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -k & k \\ -ky & kx \end{pmatrix}$$ 2. Producto $XA$: $$XA = \begin{pmatrix} 0 & k \\ -k & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ x & y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 1 + k \cdot x & 0 \cdot 1 + k \cdot y \\ -k \cdot 1 + 0 \cdot x & -k \cdot 1 + 0 \cdot y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} kx & ky \\ -k & -k \end{pmatrix}$$

Igualamos los elementos correspondientes de las matrices resultantes: $$\begin{pmatrix} -k & k \\ -ky & kx \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} kx & ky \\ -k & -k \end{pmatrix}$$ Esto nos da el siguiente sistema de ecuaciones (asumiendo $k \neq 0$, ya que si $k=0$ la matriz es nula y siempre conmuta): 1. $-k = kx \implies -1 = x$ 2. $k = ky \implies 1 = y$ 3. $-ky = -k \implies y = 1$ 4. $kx = -k \implies x = -1$ Ambas condiciones son consistentes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = -1, \quad y = 1}$$

**b) Si $x = -1$ e $y = 1$, calcule la matriz $M$ que satisface la igualdad $2M = A^{-1} - AM$.** Sustituimos los valores obtenidos en $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Operamos en la ecuación para despejar $M$: $$2M + AM = A^{-1}$$ $$(2I + A)M = A^{-1}$$ Multiplicamos por la izquierda por $A$ para simplificar la expresión: $$A(2I + A)M = A \cdot A^{-1}$$ $$(2A + A^2)M = I$$ De aquí deducimos que $M = (2A + A^2)^{-1}$. 💡 **Tip:** Para despejar matrices, recuerda que no existe la división; debemos multiplicar por la matriz inversa en el lado correspondiente (izquierda o derecha).

Primero calculamos $A^2$: $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-1 & 1+1 \\ -1-1 & -1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $2A + A^2$: $$2A + A^2 = 2 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}$$ Llamemos a esta matriz $C = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}$.

Para hallar $M = C^{-1}$, usamos la fórmula $C^{-1} = \frac{1}{|C|} \text{Adj}(C)^T$: 1. Determinante de $C$: $$|C| = \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -4 & 2 \end{vmatrix} = (2 \cdot 2) - (4 \cdot (-4)) = 4 + 16 = 20$$ 2. Matriz de adjuntos $\text{Adj}(C)$: $$\text{Adj}(C) = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2 & -(-4) \\ -4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}$$ 3. Traspuesta de la adjunta $\text{Adj}(C)^T$: $$\text{Adj}(C)^T = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$$ Finalmente: $$M = \frac{1}{20} \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/20 & -4/20 \\ 4/20 & 2/20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/10 & -1/5 \\ 1/5 & 1/10 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{M = \begin{pmatrix} 0.1 & -0.2 \\ 0.2 & 0.1 \end{pmatrix}}$$