Distribución Binomial: Llegadas tarde a clase

**a) El tipo de distribución que sigue la variable aleatoria que cuenta el número de días que Luis llega tarde a clase en los próximos 10 días. ¿Cuáles son sus parámetros? (0.5 puntos)** Primero definimos la variable aleatoria $X$ como el número de días que Luis llega tarde a clase en un periodo de $10$ días. Para que una variable siga una **distribución Binomial**, debe cumplir: 1. Solo hay dos resultados posibles: "Éxito" (llegar tarde) o "Fracaso" (no llegar tarde). 2. El experimento se repite un número fijo de veces, $n = 10$. 3. La probabilidad de éxito es constante en cada prueba, $p = 0.5$. 4. Las pruebas son independientes entre sí. Por tanto, la variable $X$ sigue una distribución Binomial de parámetros $n = 10$ y $p = 0.5$. 💡 **Tip:** La distribución binomial se denota habitualmente como $B(n, p)$, donde $n$ es el número de ensayos y $p$ la probabilidad de éxito. ✅ **Resultado:** $$\boxed{X \sim B(10; \, 0.5)}$$

**b) ¿Cuál es la media y la desviación típica de esta distribución? (0.75 puntos)** Para una distribución binomial $B(n, p)$, las fórmulas de los parámetros estadísticos son: 1. **Media ($\\mu$):** $$\mu = n \cdot p = 10 \cdot 0.5 = 5$$ 2. **Desviación típica ($\\sigma$):** Utilizamos la fórmula $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}$, donde $q = 1 - p$ es la probabilidad de fracaso. Como $p = 0.5$, entonces $q = 1 - 0.5 = 0.5$. $$\sigma = \sqrt{10 \cdot 0.5 \cdot 0.5} = \sqrt{10 \cdot 0.25} = \sqrt{2.5}$$ Calculando el valor decimal: $$\sigma \approx 1.5811$$ 💡 **Tip:** La varianza es $\sigma^2 = n \cdot p \cdot q$. La desviación típica es siempre la raíz cuadrada positiva de la varianza. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\mu = 5, \quad \sigma \approx 1.58}$$

**c) ¿Cuál es la probabilidad de que Luis consiga esa subida de 1 punto en la nota final? (0.75 puntos)** Luis consigue el punto si llega tarde **como mucho 3 días**. Esto significa que debemos calcular la probabilidad de que $X$ sea menor o igual a $3$: $$P(X \le 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)$$ La fórmula de la probabilidad puntual en una binomial es: $$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ Dado que $p = q = 0.5$, la fórmula se simplifica a $P(X=k) = \binom{10}{k} \cdot (0.5)^{10}$. Calculamos cada término: - $P(X=0) = \binom{10}{0} (0.5)^{10} = 1 \cdot 0.00097656 = 0.00097656$ - $P(X=1) = \binom{10}{1} (0.5)^{10} = 10 \cdot 0.00097656 = 0.0097656$ - $P(X=2) = \binom{10}{2} (0.5)^{10} = \frac{10 \cdot 9}{2} \cdot 0.00097656 = 45 \cdot 0.00097656 = 0.0439452$ - $P(X=3) = \binom{10}{3} (0.5)^{10} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 0.00097656 = 120 \cdot 0.00097656 = 0.1171872$ Sumamos los resultados: $$P(X \le 3) = 0.00097656 + 0.0097656 + 0.0439452 + 0.1171872 = 0.1718744$$ 💡 **Tip:** Recuerda que los números combinatorios se calculan como $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \le 3) \approx 0.1719}$$