Área encerrada entre una función cúbica y una recta

Para hallar el área encerrada entre dos funciones, lo primero es encontrar los puntos donde se cortan. Para ello, igualamos las expresiones de $f(x)$ y $g(x)$: $$f(x) = g(x) \implies x^3 - 5x = -x$$ Pasamos todos los términos a un lado de la ecuación para resolverla: $$x^3 - 5x + x = 0 \implies x^3 - 4x = 0$$ Factorizamos la ecuación sacando factor común $x$: $$x(x^2 - 4) = 0$$ Las soluciones son: 1. $x = 0$ 2. $x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$ Los puntos de corte son **$x = -2$**, **$x = 0$** y **$x = 2$**. Estos valores delimitarán los intervalos de integración. 💡 **Tip:** Los puntos de corte nos indican dónde cambia la posición relativa de las gráficas (cuál está por encima de la otra).

Tenemos dos intervalos definidos por los puntos de corte: $(-2, 0)$ y $(0, 2)$. Vamos a comprobar cuál de las funciones es mayor en cada tramo evaluando un punto intermedio: **Intervalo $(-2, 0)$:** Elegimos $x = -1$ - $f(-1) = (-1)^3 - 5(-1) = -1 + 5 = 4$ - $g(-1) = -(-1) = 1$ Como $f(-1) \gt g(-1)$, en este tramo la gráfica de **$f(x)$ está por encima de $g(x)$**. **Intervalo $(0, 2)$:** Elegimos $x = 1$ - $f(1) = (1)^3 - 5(1) = 1 - 5 = -4$ - $g(1) = -(1) = -1$ Como $g(1) \gt f(1)$, en este tramo la gráfica de **$g(x)$ está por encima de $f(x)$**. 💡 **Tip:** El área siempre se calcula como la integral de la función superior menos la función inferior en cada intervalo para asegurar que el resultado sea positivo.

El área total $A$ será la suma de las áreas en los dos recintos encontrados: $$A = \int_{-2}^{0} (f(x) - g(x)) \, dx + \int_{0}^{2} (g(x) - f(x)) \, dx$$ Sustituimos las funciones: - En $[-2, 0]$: $f(x) - g(x) = (x^3 - 5x) - (-x) = x^3 - 4x$ - En $[0, 2]$: $g(x) - f(x) = -x - (x^3 - 5x) = -x^3 + 4x$ $$A = \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) \, dx + \int_{0}^{2} (-x^3 + 4x) \, dx$$

Calculamos las integrales indefinidas correspondientes: - $\int (x^3 - 4x) \, dx = \dfrac{x^4}{4} - \dfrac{4x^2}{2} = \dfrac{x^4}{4} - 2x^2$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** en cada intervalo: **Primer recinto ($A_1$):** $$A_1 = \left[ \dfrac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{-2}^{0} = \left( \dfrac{0^4}{4} - 2(0)^2 \right) - \left( \dfrac{(-2)^4}{4} - 2(-2)^2 \right)$$ $$A_1 = 0 - \left( \dfrac{16}{4} - 8 \right) = -(4 - 8) = 4 \text{ u}^2$$ **Segundo recinto ($A_2$):** $$A_2 = \left[ -\dfrac{x^4}{4} + 2x^2 \right]_{0}^{2} = \left( -\dfrac{2^4}{4} + 2(2)^2 \right) - \left( -\dfrac{0^4}{4} + 2(0)^2 \right)$$ $$A_2 = \left( -\dfrac{16}{4} + 8 \right) - 0 = -4 + 8 = 4 \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** La regla de Barrow establece que $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es una primitiva de $f$.

Sumamos las áreas de ambos recintos para obtener el área total encerrada entre las dos gráficas: $$A = A_1 + A_2 = 4 + 4 = 8 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 8 \text{ unidades cuadradas}}$$