Cálculo de una primitiva con condición inicial

Para hallar la primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = (2x + 5)e^{-2x}$, debemos calcular la integral indefinida: $$F(x) = \int (2x + 5)e^{-2x} \, dx$$ Observamos que la función es el producto de un polinomio de primer grado, $(2x + 5)$, y una función exponencial, $e^{-2x}$. Este tipo de integrales se resuelven habitualmente mediante el método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla mnemotécnica útil para elegir $u$ es **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos).

Elegimos las partes según la regla ALPES: - Sea $u = 2x + 5 \implies du = 2 \, dx$ - Sea $dv = e^{-2x} \, dx \implies v = \int e^{-2x} \, dx = \dfrac{e^{-2x}}{-2} = -\dfrac{1}{2}e^{-2x}$ Aplicamos la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$F(x) = (2x + 5) \left( -\dfrac{1}{2}e^{-2x} \right) - \int \left( -\dfrac{1}{2}e^{-2x} \right) \cdot 2 \, dx$$ Simplificamos la expresión dentro de la integral: $$F(x) = -\dfrac{2x + 5}{2}e^{-2x} + \int e^{-2x} \, dx$$

Resolvemos la integral inmediata que ha quedado: $$\int e^{-2x} \, dx = -\dfrac{1}{2}e^{-2x}$$ Sustituimos en la expresión de $F(x)$: $$F(x) = -\dfrac{2x + 5}{2}e^{-2x} - \dfrac{1}{2}e^{-2x} + C$$ Para facilitar el cálculo posterior de la constante, sacamos factor común $-\dfrac{1}{2}e^{-2x}$: $$F(x) = -\dfrac{1}{2}e^{-2x} \left[ (2x + 5) + 1 \right] + C$$ $$F(x) = -\dfrac{1}{2}e^{-2x} (2x + 6) + C$$ Dividiendo el paréntesis por 2: $$F(x) = -(x + 3)e^{-2x} + C$$ 💡 **Tip:** No olvides nunca sumar la constante de integración $C$ al resolver una integral indefinida.

El enunciado nos indica que la primitiva debe cumplir la condición **$F(0) = 0$**. Sustituimos $x = 0$ en nuestra expresión general de $F(x)$: $$F(0) = -(0 + 3)e^{-2\cdot 0} + C = 0$$ $$-3 \cdot e^0 + C = 0$$ Como $e^0 = 1$: $$-3(1) + C = 0 \implies C = 3$$ Por lo tanto, la primitiva buscada es: $$F(x) = -(x + 3)e^{-2x} + 3$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{F(x) = 3 - (x + 3)e^{-2x}}$$