Continuidad de una función con parámetros y límites

Para que la función sea continua en $x = 0$, se debe cumplir la definición de continuidad en un punto: 1. Que exista el valor de la función en el punto: $f(0) = a$. 2. Que exista el límite de la función cuando $x$ tiende a 0: $\lim_{x \to 0} f(x)$. 3. Que ambos valores coincidan: $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$. Por tanto, el problema se reduce a calcular el límite de la función cuando $x$ tiende a 0 e igualar ese resultado al parámetro $a$. 💡 **Tip:** Una función definida a trozos es continua en un punto de salto entre ramas si el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor de la función en dicho punto coinciden.

Calculamos el límite de la primera rama cuando $x \to 0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}(x) - x e^x}{x^2 - 2 \cos(x) + 2}$$ Evaluamos directamente sustituyendo $x = 0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}(0) - 0 \cdot e^0}{0^2 - 2 \cos(0) + 2} = \frac{0 - 0}{0 - 2 + 2} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. Para resolverla, aplicaremos la **Regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador de forma independiente. 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de L'Hôpital dice que si $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$ y existe $\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, entonces ambos límites son iguales.

Derivamos el numerador $N(x)$ y el denominador $D(x)$: - $N'(x) = (\text{sen}(x) - x e^x)' = \cos(x) - (1 \cdot e^x + x \cdot e^x) = \cos(x) - e^x - x e^x$ - $D'(x) = (x^2 - 2 \cos(x) + 2)' = 2x - 2(-\text{sen}(x)) = 2x + 2 \text{sen}(x)$ Aplicamos el límite a las derivadas: $$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - e^x - x e^x}{2x + 2 \text{sen}(x)}$$ Evaluamos de nuevo en $x = 0$: $$\frac{\cos(0) - e^0 - 0 \cdot e^0}{2(0) + 2 \text{sen}(0)} = \frac{1 - 1 - 0}{0 + 0} = \frac{0}{0}$$ La indeterminación $\frac{0}{0}$ persiste, por lo que aplicaremos la Regla de L'Hôpital por segunda vez.

Derivamos de nuevo el numerador y el denominador resultantes del paso anterior: - $N''(x) = (\cos(x) - e^x - x e^x)' = -\text{sen}(x) - e^x - (1 \cdot e^x + x e^x) = -\text{sen}(x) - 2e^x - x e^x$ - $D''(x) = (2x + 2 \text{sen}(x))' = 2 + 2 \cos(x)$ Calculamos el nuevo límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{-\text{sen}(x) - 2e^x - x e^x}{2 + 2 \cos(x)}$$ Evaluamos sustituyendo $x = 0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{-\text{sen}(0) - 2e^0 - 0 \cdot e^0}{2 + 2 \cos(0)} = \frac{0 - 2(1) - 0}{2 + 2(1)} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** Al derivar el producto $x e^x$, hemos usado la regla $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Es un error común olvidar el paréntesis al restar el resultado de la derivada de un producto.

Para que $f(x)$ sea continua en $x = 0$, el valor de la función en ese punto debe ser igual al límite que acabamos de calcular: $$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$$ $$a = -\frac{1}{2}$$ Por lo tanto, el valor buscado para que la función sea continua es $a = -1/2$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = -\frac{1}{2}}$$