Estudio de la monotonía y extremos de una función exponencial

Para estudiar el crecimiento y los extremos de la función $f(x) = x^2 \cdot e^{-x}$, primero observamos que el dominio de la función es todo $\mathbb{R}$, ya que es el producto de una función polinómica y una función exponencial, ambas continuas y derivables en todo su dominio. Calculamos la primera derivada $f'(x)$ aplicando la regla del producto: $$f'(x) = (x^2)' \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (e^{-x})'$$ $$f'(x) = 2x \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (-e^{-x})$$ Factoreamos sacando factor común $x \cdot e^{-x}$: $$f'(x) = (2x - x^2) e^{-x} = x(2 - x)e^{-x}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar $e^{g(x)}$ se usa la regla de la cadena: $(e^{g(x)})' = g'(x) e^{g(x)}$. En este caso, $(e^{-x})' = -1 \cdot e^{-x}$. $$\boxed{f'(x) = x(2 - x)e^{-x}}$$

Los puntos críticos son aquellos donde la derivada se anula ($f'(x) = 0$) o no existe. Como nuestra derivada existe en todo $\mathbb{R}$, buscamos sus raíces: $$x(2 - x)e^{-x} = 0$$ Dado que la función exponencial $e^{-x}$ nunca es cero ($e^{-x} \gt 0$ para cualquier $x$), la ecuación se reduce a: $$x(2 - x) = 0$$ Esto nos da dos posibles soluciones: 1. $x = 0$ 2. $2 - x = 0 \implies x = 2$ Estos son los candidatos a extremos relativos. $$\boxed{x_1 = 0, \quad x_2 = 2}$$

Dividimos la recta real en intervalos definidos por los puntos críticos y estudiamos el signo de $f'(x)$ en cada uno. Notamos que el signo de $f'(x) = x(2-x)e^{-x}$ depende únicamente del signo de $x(2-x)$, ya que $e^{-x}$ siempre es positivo. $$ \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline x & - & 0 & + & + & + \\ 2-x & + & + & + & 0 & - \\ e^{-x} & + & + & + & + & + \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \end{array} $$ Analizando los resultados: - En $(-\infty, 0)$, $f'(x) \lt 0$: la función es **decreciente**. - En $(0, 2)$, $f'(x) \gt 0$: la función es **creciente**. - En $(2, +\infty)$, $f'(x) \lt 0$: la función es **decreciente**. 💡 **Tip:** Para determinar el crecimiento, si $f'(x) \gt 0$ la función crece, y si $f'(x) \lt 0$ la función decrece. ✅ **Resultado (Intervalos):** $$\boxed{\text{Crecimiento: } (0, 2) \quad \text{Decrecimiento: } (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)}$$

A partir del cambio de signo de la derivada detectado en el paso anterior, identificamos los extremos relativos: 1. En $x = 0$: la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**. Calculamos su ordenada: $f(0) = 0^2 \cdot e^{-0} = 0$. Punto: $(0, 0)$. 2. En $x = 2$: la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**. Calculamos su ordenada: $f(2) = 2^2 \cdot e^{-2} = \frac{4}{e^2}$. Punto: $\left(2, \frac{4}{e^2}\right)$. Valor aproximado del máximo: $\frac{4}{e^2} \approx 0.541$. ✅ **Resultado (Puntos extremos):** $$\boxed{\text{Mínimo relativo: } (0, 0) \quad \text{Máximo relativo: } \left(2, \frac{4}{e^2}\right)}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = x^2 \\cdot e^{-x}", "color": "#2563eb" }, { "id": "min", "latex": "(0,0)", "color": "#ef4444", "label": "Mínimo (0,0)", "showLabel": true }, { "id": "max", "latex": "(2, 4/e^2)", "color": "#16a34a", "label": "Máximo (2, 4/e^2)", "showLabel": true } ], "bounds": { "left": -2, "right": 6, "bottom": -1, "top": 2 } } }