Vectores, ángulo y área del triángulo en el espacio

Para resolver el problema, primero necesitamos determinar los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ a partir de los puntos dados $A(1, 2, 1)$, $B(0, 3, 1)$ y $C(1, 0, -1)$. Restamos las coordenadas de los puntos origen de las del extremo: $$\vec{AB} = B - A = (0-1, 3-2, 1-1) = (-1, 1, 0)$$ $$\vec{AC} = C - A = (1-1, 0-2, -1-1) = (0, -2, -2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un vector que une dos puntos $P_1$ y $P_2$ se calcula siempre como el punto final menos el punto inicial: $\vec{P_1P_2} = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$.

**a) Un vector unitario y ortogonal a los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. (1 punto)** Un vector ortogonal a dos vectores dados se obtiene mediante su **producto vectorial**. Calculamos $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ usando el determinante por la regla de Sarrus: $$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos el determinante: $$\vec{n} = \vec{i} \cdot [1 \cdot (-2) - 0 \cdot (-2)] - \vec{j} \cdot [(-1) \cdot (-2) - 0 \cdot 0] + \vec{k} \cdot [(-1) \cdot (-2) - 1 \cdot 0]$$ $$\vec{n} = \vec{i}(-2) - \vec{j}(2) + \vec{k}(2) = (-2, -2, 2)$$ El vector $(-2, -2, 2)$ es perpendicular a ambos, pero el enunciado nos pide que sea **unitario**.

Para que el vector sea unitario, dividimos el vector $\vec{n}$ por su módulo: $$|\vec{n}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$ El vector unitario $\vec{u}$ será: $$\vec{u} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \left( \frac{-2}{2\sqrt{3}}, \frac{-2}{2\sqrt{3}}, \frac{2}{2\sqrt{3}} \right) = \left( -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$$ Racionalizando (opcional): $$\vec{u} = \left( -\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3} \right)$$ Nota: El vector opuesto $-\vec{u}$ también es una solución válida. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\vec{u} = \left( -\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$$

**b) El ángulo determinado por dichos vectores. (0.5 puntos)** Utilizamos la definición de **producto escalar** para hallar el ángulo $\alpha$ entre $\vec{AB} = (-1, 1, 0)$ y $\vec{AC} = (0, -2, -2)$: $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\alpha)$$ 1. Producto escalar: $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-1)(0) + (1)(-2) + (0)(-2) = -2$$ 2. Módulos de los vectores: $$|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$$ $$|\vec{AC}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$ 3. Despejamos el coseno: $$\cos(\alpha) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} = \frac{-2}{\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{-2}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}$$ 4. Calculamos el ángulo: $$\alpha = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ$$ 💡 **Tip:** El ángulo de un coseno negativo siempre será un ángulo obtuso (entre $90^\circ$ y $180^\circ$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = 120^\circ \quad \text{o} \quad \frac{2\pi}{3} \text{ rad}}$$

**c) El área del triángulo que forman $A, B$ y $C$. (0.5 puntos)** El área de un triángulo definido por dos vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ es la mitad del módulo de su producto vectorial: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$$ Ya hemos calculado en el apartado (a) que $\vec{AB} \times \vec{AC} = (-2, -2, 2)$ y que su módulo es $|\vec{n}| = 2\sqrt{3}$. $$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{3} \approx 1.732 \text{ unidades}^2$$ 💡 **Tip:** No olvides que el producto vectorial nos da el área del paralelogramo formado por los vectores; para el triángulo, siempre debemos dividir por 2. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \sqrt{3} \text{ u}^2}$$