Ecuación de un plano dados una recta contenida y otra paralela

**3. Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta $r \equiv \begin{cases} x - y - 4z + 1 = 0 \\ x - 2z + 1 = 0 \end{cases}$ y es paralelo a la recta de ecuación $s \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z}{3}$ (2 puntos)** Como el plano $\pi$ debe contener a la recta $r$, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ será uno de los vectores directores del plano, y cualquier punto de la recta $P_r$ pertenecerá al plano. La recta $r$ viene dada por la intersección de dos planos. Obtenemos su vector director mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos $\vec{n}_1 = (1, -1, -4)$ y $\vec{n}_2 = (1, 0, -2)$: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & -4 \\ 1 & 0 & -2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v}_r = [(-1) \cdot (-2)]\mathbf{i} + [(-4) \cdot 1]\mathbf{j} + [1 \cdot 0]\mathbf{k} - [(-1) \cdot 1]\mathbf{k} - [0 \cdot (-4)]\mathbf{i} - [(-2) \cdot 1]\mathbf{j}$$ $$\vec{v}_r = 2\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 0\mathbf{k} + 1\mathbf{k} + 0\mathbf{i} + 2\mathbf{j} = 2\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 1\mathbf{k}$$ $$\vec{v}_r = (2, -2, 1)$$ Ahora buscamos un punto $P_r$ de la recta asignando un valor arbitrario a una variable, por ejemplo $z = 0$: $$\begin{cases} x - y - 4(0) + 1 = 0 \implies x - y + 1 = 0 \\ x - 2(0) + 1 = 0 \implies x = -1 \end{cases}$$ Si $x = -1$, entonces $-1 - y + 1 = 0 \implies y = 0$. 💡 **Tip:** Un punto $P$ y un vector $\vec{v}$ definen una recta. Si el plano contiene a la recta, "hereda" su dirección y su punto. $$\boxed{\vec{v}_r = (2, -2, 1), \quad P_r(-1, 0, 0)}$$

La recta $s$ está expresada en su forma continua: $$s \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z}{3}$$ De los denominadores extraemos directamente su vector director: $$\vec{v}_s = (2, -1, 3)$$ Como el plano $\pi$ es paralelo a la recta $s$, el vector $\vec{v}_s$ será el segundo vector director necesario para definir el plano (siempre que no sea paralelo a $\vec{v}_r$, lo cual se cumple pues no son proporcionales). ✅ **Vector director de s:** $$\boxed{\vec{v}_s = (2, -1, 3)}$$

Para hallar la ecuación general del plano $\pi: Ax + By + Cz + D = 0$, calculamos el vector normal $\vec{n}_\pi$ mediante el producto vectorial de los dos vectores directores que hemos obtenido: $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$. $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{n}_\pi = [(-2) \cdot 3]\mathbf{i} + [1 \cdot 2]\mathbf{j} + [2 \cdot (-1)]\mathbf{k} - [(-2) \cdot 2]\mathbf{k} - [(-1) \cdot 1]\mathbf{i} - [3 \cdot 2]\mathbf{j}$$ $$\vec{n}_\pi = -6\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 2\mathbf{k} + 4\mathbf{k} + 1\mathbf{i} - 6\mathbf{j}$$ $$\vec{n}_\pi = -5\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$$ 💡 **Tip:** El vector normal a un plano es perpendicular a cualquier vector contenido en él o paralelo a él. $$\boxed{\vec{n}_\pi = (-5, -4, 2)}$$

Utilizamos el vector normal $\vec{n}_\pi = (-5, -4, 2)$ y el punto $P_r(-1, 0, 0)$ que debe pertenecer al plano. La ecuación del plano es: $$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$ $$-5(x - (-1)) - 4(y - 0) + 2(z - 0) = 0$$ $$-5(x + 1) - 4y + 2z = 0$$ $$-5x - 5 - 4y + 2z = 0$$ Multiplicando por $-1$ para simplificar los signos: $$5x + 4y - 2z + 5 = 0$$ Podemos representar la situación geométricamente: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{5x + 4y - 2z + 5 = 0}$$