Operaciones matriciales y parámetros

**2. Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, $M = \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 1 \\ a-b & 1 \end{pmatrix}$ y $N = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, hallar los valores de $a$ y $b$ para que el producto $A \cdot M$ sea igual a la inversa de la matriz $N$.** En primer lugar, calculamos el producto de las matrices $A$ (de dimensión $2 \times 3$) y $M$ (de dimensión $3 \times 2$). El resultado será una matriz de dimensión $2 \times 2$: $$A \cdot M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 1 \\ a-b & 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos la multiplicación fila por columna: - Primera fila: - $(1 \cdot a) + (0 \cdot b) + (1 \cdot (a-b)) = a + a - b = 2a - b$ - $(1 \cdot 0) + (0 \cdot 1) + (1 \cdot 1) = 1$ - Segunda fila: - $(-1 \cdot a) + (1 \cdot b) + (0 \cdot (a-b)) = -a + b$ - $(-1 \cdot 0) + (1 \cdot 1) + (0 \cdot 1) = 1$ Obtenemos así: $$A \cdot M = \begin{pmatrix} 2a - b & 1 \\ -a + b & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el de filas de la segunda.

Para hallar $N^{-1}$, primero calculamos el determinante de $N$: $$|N| = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2) - (-1 \cdot -1) = 2 - 1 = 1$$ Como $|N| = 1 \neq 0$, la matriz es invertible. Calculamos la matriz adjunta o usamos la fórmula directa para matrices $2 \times 2$: Si $N = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$, entonces $N^{-1} = \dfrac{1}{|N|} \begin{pmatrix} D & -B \\ -C & A \end{pmatrix}$. Aplicando la fórmula: $$N^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La matriz inversa de una matriz de orden 2 se obtiene rápidamente intercambiando los elementos de la diagonal principal y cambiando el signo a los de la diagonal secundaria, dividiendo todo por el determinante.

Igualamos el producto $A \cdot M$ obtenido en el paso 1 con la inversa $N^{-1}$ del paso 2: $$\begin{pmatrix} 2a - b & 1 \\ -a + b & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Para que dos matrices sean iguales, sus elementos correspondientes deben ser iguales. Esto genera el siguiente sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} 2a - b = 2 \\ -a + b = 1 \end{cases}$$ (Nótese que los elementos de la segunda columna $1=1$ ya se cumplen). Resolvemos el sistema por el método de reducción sumando ambas ecuaciones: $$(2a - a) + (-b + b) = 2 + 1 \implies a = 3$$ Sustituimos $a = 3$ en la segunda ecuación para hallar $b$: $$-3 + b = 1 \implies b = 1 + 3 = 4$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 3, \quad b = 4}$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar el resultado sustituyendo los valores obtenidos en las ecuaciones originales: $2(3) - 4 = 6 - 4 = 2$ y $-3 + 4 = 1$. ¡Es correcto!