Invertibilidad y cálculo de la matriz inversa con parámetros

**a) Calcular los valores de $b$ para los que $A$ tiene inversa. (1 punto)** Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, es decir, $|A| \neq 0$. Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 2 & b+1 \\ b+2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & b \end{vmatrix}$$ $$|A| = (2 \cdot 1 \cdot b) + (2 \cdot 1 \cdot 1) + ((b+1) \cdot (b+2) \cdot 1) - [(1 \cdot 1 \cdot (b+1)) + (1 \cdot 1 \cdot 2) + (b \cdot (b+2) \cdot 2)]$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una matriz sea invertible (o regular), su determinante debe ser no nulo. Si el determinante es cero, la matriz es singular.

Operamos con cuidado cada término de la expresión anterior: 1. Productos positivos: - $2b$ - $2$ - $(b+1)(b+2) = b^2 + 2b + b + 2 = b^2 + 3b + 2$ Suma: $b^2 + 5b + 4$ 2. Productos negativos: - $b+1$ - $2$ - $2b(b+2) = 2b^2 + 4b$ Suma: $2b^2 + 5b + 3$ Restamos ambas partes: $$|A| = (b^2 + 5b + 4) - (2b^2 + 5b + 3)$$ $$|A| = b^2 + 5b + 4 - 2b^2 - 5b - 3 = -b^2 + 1$$ $$\boxed{|A| = -b^2 + 1}$$

Para hallar cuándo existe inversa, igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$-b^2 + 1 = 0 \implies b^2 = 1 \implies b = \pm \sqrt{1} \implies b = 1, \quad b = -1$$ Por tanto, el determinante es cero si $b = 1$ o $b = -1$. Para cualquier otro valor de $b$, el determinante será distinto de cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La matriz } A \text{ tiene inversa para todo } b \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}}$$

**b) Hallar $A^{-1}$ para el caso $b = 0$ (debe justificarse adecuadamente la respuesta). (1 punto)** Primero, sustituimos $b = 0$ en la matriz $A$ y en el valor de su determinante: $$|A|_{b=0} = -(0)^2 + 1 = 1$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz es invertible. La matriz para $b=0$ es: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Utilizaremos la fórmula de la matriz inversa: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^T$$ 💡 **Tip:** Nota que en este caso la matriz $A$ es simétrica ($A = A^T$), lo que facilitará los cálculos ya que $\text{Adj}(A)^T = \text{Adj}(A^T) = \text{Adj}(A)$.

Calculamos los adjuntos $A_{ij}$ de cada elemento de la matriz $A$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (0 - 1) = -1$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - 1) = 1$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (2 - 1) = 1$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - 1) = 1$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (0 - 1) = -1$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(2 - 2) = 0$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (2 - 1) = 1$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(2 - 2) = 0$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (2 - 4) = -2$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}$$

Como $|A| = 1$, la inversa coincide con la traspuesta de la matriz adjunta. Dado que $\text{Adj}(A)$ es simétrica en este caso: $$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}$$ Podemos verificar que $A \cdot A^{-1} = I$: $$\begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}}$$