Distribución binomial: lanzamientos de golf

Para resolver este problema, primero debemos identificar el tipo de distribución de probabilidad que sigue el experimento. Se trata de una **distribución binomial**, ya que se cumplen las siguientes condiciones: 1. Se realizan un número fijo de pruebas independientes: $n = 5$ lanzamientos. 2. En cada lanzamiento solo hay dos resultados posibles: éxito (hacer hoyo) o fracaso (no hacer hoyo). 3. La probabilidad de éxito es constante en cada prueba: $p = 0.4$. Definimos la variable aleatoria: $X =$ "Número de hoyos conseguidos en 5 lanzamientos". Por tanto, la variable sigue una distribución binomial: **$X \sim B(5, 0.4)$**. Donde: - $n = 5$ - $p = 0.4$ - $q = 1 - p = 0.6$ 💡 **Tip:** La fórmula para calcular la probabilidad de obtener exactamente $k$ éxitos en una binomial es: $P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

**a) La probabilidad de que no haga ningún hoyo. (0.75 puntos)** Buscamos la probabilidad de que el número de hoyos sea cero, es decir, $P(X = 0)$. Aplicamos la fórmula de la binomial para $k = 0$: $$P(X = 0) = \binom{5}{0} \cdot 0.4^0 \cdot 0.6^5$$ Calculamos cada término: - $\binom{5}{0} = 1$ (Cualquier número sobre 0 es 1). - $0.4^0 = 1$ (Cualquier número distinto de cero elevado a 0 es 1). - $0.6^5 = 0.07776$ Sustituyendo: $$P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.07776 = 0.07776$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X = 0) = 0.07776}$$ (También se puede expresar como $7.78 \%$ aproximadamente).

**b) La probabilidad de hacer como mucho 2 hoyos. (0.75 puntos)** La expresión "como mucho 2" significa que el jugador puede hacer 0, 1 o 2 hoyos. Por tanto, debemos calcular: $$P(X \le 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$$ Ya conocemos $P(X = 0) = 0.07776$. Calculamos los demás: 1. Para $k = 1$: $$P(X = 1) = \binom{5}{1} \cdot 0.4^1 \cdot 0.6^4 = 5 \cdot 0.4 \cdot 0.1296 = 2 \cdot 0.1296 = 0.2592$$ 2. Para $k = 2$: $$P(X = 2) = \binom{5}{2} \cdot 0.4^2 \cdot 0.6^3 = 10 \cdot 0.16 \cdot 0.216 = 1.6 \cdot 0.216 = 0.3456$$ Sumamos todas las probabilidades: $$P(X \le 2) = 0.07776 + 0.2592 + 0.3456 = 0.68256$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el número combinatorio $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Por ejemplo, $\binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \le 2) = 0.68256}$$

**c) El número medio de hoyos. (0.5 puntos)** El número medio de hoyos corresponde a la **esperanza matemática** o media de la distribución binomial. La fórmula para la media en una distribución $B(n, p)$ es: $$\mu = n \cdot p$$ Sustituimos los valores conocidos: $$\mu = 5 \cdot 0.4 = 2$$ Esto significa que, en promedio, el jugador esperaría hacer 2 hoyos en cada serie de 5 lanzamientos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\mu = 2 \text{ hoyos}}$$