Probabilidad de votantes por candidato y género

**a) Si se elige un votante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? (1 punto)** En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $A$: El votante ha elegido al candidato A. - $B$: El votante ha elegido al candidato B. - $C$: El votante ha elegido al candidato C. - $M$: El votante es mujer. - $H$: El votante es hombre (suceso contrario a ser mujer, $M^c$). Calculamos las probabilidades de haber votado a cada candidato a partir de los datos del enunciado: - Total de votos: $900$. - Candidato A: $300$ votos $\implies P(A) = \dfrac{300}{900} = \dfrac{1}{3}$. - Candidato B: $25\%$ del total $\implies P(B) = 0,25 = \dfrac{1}{4}$. - Candidato C: El resto $\implies P(C) = 1 - \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}\right) = 1 - \dfrac{7}{12} = \dfrac{5}{12}$. Ahora extraemos las probabilidades condicionadas según el género: - Votantes de A: $60\%$ son mujeres $\implies P(M|A) = 0,6$ y $P(H|A) = 0,4$. - Votantes de B: $60\%$ son hombres $\implies P(H|B) = 0,6$ y $P(M|B) = 0,4$. - Votantes de C: $20\%$ son mujeres $\implies P(M|C) = 0,2$ y $P(H|C) = 0,8$. 💡 **Tip:** Recuerda que las probabilidades de los sucesos que parten de un mismo nodo en un árbol deben sumar $1$ (por ejemplo, $P(M|A) + P(H|A) = 1$).

Para visualizar mejor la situación, construimos un diagrama de árbol con las probabilidades calculadas:

Para hallar la probabilidad total de ser mujer, $P(M)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(M) = P(A) \cdot P(M|A) + P(B) \cdot P(M|B) + P(C) \cdot P(M|C)$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$P(M) = \left( \frac{1}{3} \cdot 0,6 \right) + \left( \frac{1}{4} \cdot 0,4 \right) + \left( \frac{5}{12} \cdot 0,2 \right)$$ $$P(M) = \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{10} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{10} + \frac{5}{12} \cdot \frac{2}{10}$$ $$P(M) = \frac{6}{30} + \frac{4}{40} + \frac{10}{120} = \frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{1}{12}$$ Calculamos el común denominador ($60$): $$P(M) = \frac{12}{60} + \frac{6}{60} + \frac{5}{60} = \frac{23}{60} \approx 0,3833$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total permite calcular la probabilidad de un suceso general sumando las probabilidades de todas las formas en las que dicho suceso puede ocurrir. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M) = \frac{23}{60} \approx 0,3833}$$

**b) Si un votante es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que haya votado al candidato A? (1 punto)** Se nos pide calcular la probabilidad de haber votado a A sabiendo que el votante es hombre, es decir, $P(A|H)$. Para ello usamos el **Teorema de Bayes**: $$P(A|H) = \frac{P(A \cap H)}{P(H)} = \frac{P(A) \cdot P(H|A)}{P(H)}$$ Primero, calculamos $P(H)$ como el suceso complementario de ser mujer: $$P(H) = 1 - P(M) = 1 - \frac{23}{60} = \frac{37}{60} \approx 0,6167$$ Ahora, calculamos la probabilidad de la intersección $P(A \cap H)$: $$P(A \cap H) = P(A) \cdot P(H|A) = \frac{1}{3} \cdot 0,4 = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{10} = \frac{4}{30} = \frac{8}{60}$$ Finalmente, aplicamos la fórmula de Bayes: $$P(A|H) = \frac{8/60}{37/60} = \frac{8}{37} \approx 0,2162$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se utiliza para calcular una probabilidad "a posteriori", es decir, cuando ya conocemos el resultado final (ser hombre) y queremos saber la probabilidad de la causa original (votar a A). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|H) = \frac{8}{37} \approx 0,2162}$$