Cálculo del área entre una función cúbica y una recta

**8 Determinar el área encerrada por las gráficas de las funciones $f(x) = -x^3 + 3x^2 + 6, \quad g(x) = 2x + 6$ (2 puntos)** Para hallar el área encerrada por dos funciones, el primer paso es encontrar los puntos donde sus gráficas se intersecan. Para ello, igualamos ambas expresiones: $$f(x) = g(x) \implies -x^3 + 3x^2 + 6 = 2x + 6$$ Simplificamos la ecuación restando 6 en ambos lados y llevando todos los términos a un miembro: $$-x^3 + 3x^2 - 2x = 0$$ Multiplicamos por $-1$ para facilitar la resolución y factorizamos por $x$: $$x^3 - 3x^2 + 2x = 0 \implies x(x^2 - 3x + 2) = 0$$ Esto nos da una primera solución: **$x_1 = 0$**. Para las otras dos, resolvemos la ecuación de segundo grado $x^2 - 3x + 2 = 0$: $$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Las soluciones son **$x_2 = 1$** y **$x_3 = 2$**. Los puntos de corte son $x=0$, $x=1$ y $x=2$. 💡 **Tip:** Los puntos de corte dividen la recta real en intervalos que definen las regiones de integración.

Como tenemos tres puntos de corte, el área total se divide en dos recintos: 1. Recinto 1: entre $x=0$ y $x=1$. 2. Recinto 2: entre $x=1$ y $x=2$. Definimos la función diferencia $h(x) = f(x) - g(x) = -x^3 + 3x^2 - 2x$. El área total es la suma del valor absoluto de las integrales en cada intervalo: $$A = \int_{0}^{1} |f(x) - g(x)| dx + \int_{1}^{2} |f(x) - g(x)| dx$$ O bien, comprobando cuál función está por encima en cada intervalo: - En $(0, 1)$: Si tomamos $x=0.5$, $h(0.5) = -0.125 + 0.75 - 1 = -0.375$. Como es negativo, $g(x) > f(x)$. - En $(1, 2)$: Si tomamos $x=1.5$, $h(1.5) = -3.375 + 6.75 - 3 = 0.375$. Como es positivo, $f(x) > g(x)$. 💡 **Tip:** Si no quieres comprobar qué función está arriba, simplemente calcula las integrales y toma el valor absoluto de cada resultado parcial.

Calculamos primero la integral indefinida de la función diferencia $h(x) = -x^3 + 3x^2 - 2x$: $$H(x) = \int (-x^3 + 3x^2 - 2x) dx = -\frac{x^4}{4} + 3\frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + C$$ Simplificando: $$\boxed{H(x) = -\frac{x^4}{4} + x^3 - x^2}$$ Evaluaremos esta primitiva en los límites de integración usando la **Regla de Barrow**.

Calculamos el área de cada recinto: **Recinto 1 ($x=0$ a $x=1$):** $$A_1 = \left| \left[ -\frac{x^4}{4} + x^3 - x^2 \right]_0^1 \right| = \left| \left(-\frac{1}{4} + 1 - 1\right) - (0) \right| = \left| -\frac{1}{4} \right| = \frac{1}{4} \text{ u}^2$$ **Recinto 2 ($x=1$ a $x=2$):** $$A_2 = \left| \left[ -\frac{x^4}{4} + x^3 - x^2 \right]_1^2 \right| = \left| \left(-\frac{2^4}{4} + 2^3 - 2^2\right) - \left(-\frac{1}{4} + 1 - 1\right) \right|$$ $$A_2 = \left| (-4 + 8 - 4) - \left(-\frac{1}{4}\right) \right| = \left| 0 + \frac{1}{4} \right| = \frac{1}{4} \text{ u}^2$$ **Área total:** $$A = A_1 + A_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = 0.5 \text{ u}^2}$$ Como apoyo visual, se muestra la gráfica de las funciones y el área sombreada: