Integral de una función racional

7 Hallar la integral $\int \frac{-x^2 + 7x + 6}{x^3 + x^2 - 2x} dx$. (2 puntos) Nos encontramos ante una **integral racional**. El grado del numerador (2) es menor que el grado del denominador (3), por lo que procedemos directamente a descomponer la fracción en fracciones simples. Primero, factorizamos el denominador $Q(x) = x^3 + x^2 - 2x$: 1. Extraemos factor común $x$: $$x^3 + x^2 - 2x = x(x^2 + x - 2)$$ 2. Resolvemos la ecuación de segundo grado $x^2 + x - 2 = 0$ para hallar las raíces restantes: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Las raíces son $x_1 = 1$ y $x_2 = -2$. Por tanto, el denominador factorizado es: $$\boxed{x^3 + x^2 - 2x = x(x-1)(x+2)}$$ 💡 **Tip:** Antes de integrar una función racional, comprueba siempre si el grado del numerador es mayor o igual al del denominador. Si lo fuera, deberías realizar primero la división de polinomios.

Planteamos la descomposición de la fracción original en una suma de fracciones simples con coeficientes $A$, $B$ y $C$ por determinar, ya que todas las raíces del denominador son reales y simples: $$\frac{-x^2 + 7x + 6}{x(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+2}$$ Para hallar los valores, igualamos los numeradores tras obtener el común denominador: $$-x^2 + 7x + 6 = A(x-1)(x+2) + Bx(x+2) + Cx(x-1)$$ Para calcular **$A$, $B$ y $C$**, damos a $x$ los valores de las raíces: - Si **$x = 0$**: $$-0^2 + 7(0) + 6 = A(0-1)(0+2) \implies 6 = -2A \implies \mathbf{A = -3}$$ - Si **$x = 1$**: $$-1^2 + 7(1) + 6 = B(1)(1+2) \implies 12 = 3B \implies \mathbf{B = 4}$$ - Si **$x = -2$**: $$-(-2)^2 + 7(-2) + 6 = C(-2)(-2-1) \implies -4 - 14 + 6 = 6C \implies -12 = 6C \implies \mathbf{C = -2}$$ La fracción descompuesta queda: $$\frac{-x^2 + 7x + 6}{x^3 + x^2 - 2x} = \frac{-3}{x} + \frac{4}{x-1} + \frac{-2}{x+2}$$

Sustituimos la fracción descompuesta en la integral y aplicamos la propiedad de linealidad para separar en tres integrales inmediatas de tipo logarítmico: $$\int \left( \frac{-3}{x} + \frac{4}{x-1} - \frac{2}{x+2} \right) dx = -3 \int \frac{1}{x} dx + 4 \int \frac{1}{x-1} dx - 2 \int \frac{1}{x+2} dx$$ Integrando cada término obtenemos: $$-3 \ln|x| + 4 \ln|x-1| - 2 \ln|x+2| + K$$ Donde $K$ representa la constante de integración. 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{1}{x+a} dx = \ln|x+a| + C$. Es fundamental poner el valor absoluto en el argumento del logaritmo para que la función esté bien definida. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \frac{-x^2 + 7x + 6}{x^3 + x^2 - 2x} dx = -3 \ln|x| + 4 \ln|x-1| - 2 \ln|x+2| + K}$$