Cálculo de parámetros para el cumplimiento del Teorema de Rolle

**6 Calcular $a, b$ y $c$ para que la función $f(x)$ cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo $[-2, 2]$.** Para que una función $f(x)$ cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en un intervalo $[p, q]$, deben cumplirse tres condiciones: 1. $f(x)$ debe ser **continua** en el intervalo cerrado $[-2, 2]$. 2. $f(x)$ debe ser **derivable** en el intervalo abierto $(-2, 2)$. 3. Los valores de la función en los extremos deben ser iguales: $f(-2) = f(2)$. Como las ramas de la función son polinomios, son continuas y derivables en todo $\mathbb{R}$. El único punto problemático donde puede existir un salto entre ramas es $x=0$. Por tanto, debemos imponer la continuidad y derivabilidad en ese punto, además de la igualdad en los extremos del intervalo. 💡 **Tip:** El teorema de Rolle garantiza que, si se cumplen estas tres condiciones, existe al menos un punto $k \in (-2, 2)$ tal que $f'(k) = 0$.

Para que $f(x)$ sea continua en $x=0$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: - Valor de la función: $f(0) = a + c(0) = a$. - Límite por la izquierda: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x^2 + ax - b) = -b.$$ - Límite por la derecha: $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (a + cx) = a.$$ Igualando los límites laterales para que no haya un salto entre ramas: $$-b = a \implies a + b = 0.$$ $$\boxed{a + b = 0}$$

Calculamos primero la derivada genérica de la función para $x \neq 0$: $$f'(x) = \begin{cases} 2x + a & \text{si } x \lt 0 \\ c & \text{si } x \gt 0 \end{cases}$$ Para que la función sea derivable en $x=0$, las derivadas laterales deben ser iguales: - Derivada por la izquierda: $f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} (2x + a) = a$. - Derivada por la derecha: $f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} c = c$. Por tanto, igualamos ambas expresiones: $$a = c.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para estudiar la derivabilidad en un punto de una función a trozos, es requisito indispensable que la función sea continua previamente en dicho punto. $$\boxed{a = c}$$

Debemos asegurar que $f(-2) = f(2)$: - Calculamos $f(-2)$ usando la primera rama ($x \lt 0$): $$f(-2) = (-2)^2 + a(-2) - b = 4 - 2a - b.$$ - Calculamos $f(2)$ usando la segunda rama ($x \ge 0$): $$f(2) = a + c(2) = a + 2c.$$ Igualamos ambas expresiones: $$4 - 2a - b = a + 2c \implies 3a + b + 2c = 4.$$ $$\boxed{3a + b + 2c = 4}$$

Tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: 1) $b = -a$ 2) $c = a$ 3) $3a + b + 2c = 4$ Sustituimos la (1) y la (2) en la ecuación (3): $$3a + (-a) + 2(a) = 4$$ $$3a - a + 2a = 4$$ $$4a = 4 \implies a = 1.$$ Ahora calculamos $b$ y $c$: $$b = -a = -1$$ $$c = a = 1$$ Los valores que hacen que se cumpla el Teorema de Rolle son: ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1, \quad b = -1, \quad c = 1}$$