Estudio de asíntotas, monotonía y extremos de una función racional

**a) Estudiar sus asíntotas, monotonía y extremos relativos. (1.5 puntos)** Primero, determinamos el dominio de la función $f(x) = \frac{4x+4}{x^2}$. Al ser una función racional, el dominio son todos los reales excepto aquellos que anulan el denominador: $$x^2 = 0 \implies x = 0$$ Por tanto, $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. **Asíntotas Verticales (AV):** Estudiamos el límite en el punto que no pertenece al dominio: $$\lim_{x \to 0} \frac{4x+4}{x^2} = \frac{4}{0^+} = +\infty$$ Como el límite es infinito, existe una asíntota vertical en $x=0$ (el eje $Y$). 💡 **Tip:** Las asíntotas verticales suelen aparecer en los valores de $x$ que anulan el denominador pero no el numerador.

**Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos el límite cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x+4}{x^2} = 0$$ Dado que el grado del denominador es mayor que el del numerador, el límite es 0. Por tanto, existe una asíntota horizontal en $y=0$ (el eje $X$). **Asíntotas Oblicuas (AO):** Al existir asíntota horizontal en ambos lados ($x \to +\infty$ y $x \to -\infty$), no existen asíntotas oblicuas. 💡 **Tip:** Recuerda que si una función racional tiene asíntota horizontal, no puede tener oblicua.

Para estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos, calculamos la derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(4) \cdot x^2 - (4x+4) \cdot (2x)}{(x^2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{4x^2 - (8x^2 + 8x)}{x^4} = \frac{4x^2 - 8x^2 - 8x}{x^4}$$ $$f'(x) = \frac{-4x^2 - 8x}{x^4} = \frac{-4x(x + 2)}{x^4} = \frac{-4x - 8}{x^3}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$-4x - 8 = 0 \implies -4x = 8 \implies x = -2$$ 💡 **Tip:** Simplifica siempre la derivada antes de estudiar su signo. Aquí hemos cancelado una $x$ en el numerador y el denominador (sabiendo que $x \neq 0$).

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico ($x=-2$) y el punto de discontinuidad ($x=0$): $$ \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-2) & -2 & (-2,0) & 0 & (0,+\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & \nexists & - \\ \hline f(x) & \searrow & \min & \nearrow & \nexists & \searrow \end{array} $$ **Justificación del signo:** - En $(-\infty, -2)$, tomamos $x=-3$: $f'(-3) = \frac{-4(-3)-8}{(-3)^3} = \frac{4}{-27} \lt 0$. - En $(-2, 0)$, tomamos $x=-1$: $f'(-1) = \frac{-4(-1)-8}{(-1)^3} = \frac{-4}{-1} = 4 \gt 0$. - En $(0, +\infty)$, tomamos $x=1$: $f'(1) = \frac{-4(1)-8}{1^3} = -12 \lt 0$.

A partir del estudio anterior, observamos que en $x = -2$ la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**. Calculamos la ordenada del mínimo sustituyendo en $f(x)$: $$f(-2) = \frac{4(-2)+4}{(-2)^2} = \frac{-8+4}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$ En $x = 0$ no hay extremo porque la función no está definida allí (hay una asíntota vertical).

**b) Representarla gráficamente. (0.5 puntos)** Para una mejor representación, calculamos el punto de corte con el eje $X$ ($f(x)=0$): $$4x + 4 = 0 \implies x = -1 \implies (-1, 0)$$ Resumen para la gráfica: - Asíntotas: $x=0$ (vertical) y $y=0$ (horizontal). - Mínimo en $(-2, -1)$. - Corte con eje $X$ en $(-1, 0)$. - Rama izquierda: Viene de $y=0$, baja al mínimo $(-2, -1)$, sube cortando en $(-1, 0)$ y se va a $+\infty$ pegada a $x=0$. - Rama derecha: Viene de $+\infty$ pegada a $x=0$ y decrece hacia $y=0$ sin cruzar el eje $X$.