Paralelismo de rectas y ángulo entre recta y plano

**a) Calcular $a$ para que ambas rectas sean paralelas.** Para que dos rectas sean paralelas, sus vectores directores deben ser proporcionales. Primero identificamos los vectores directores de cada recta: - Para la recta $r$ (dada en paramétricas), los coeficientes de $\lambda$ nos dan el vector director: $$\vec{v_r} = (-2, 2, -6)$$ - Para la recta $s$ (dada en forma continua), los denominadores nos dan el vector director: $$\vec{v_s} = (1, a, 3)$$ 💡 **Tip:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{v_x} = \frac{y-y_0}{v_y} = \frac{z-z_0}{v_z}$, el vector director es $(v_x, v_y, v_z)$ siempre que $x, y, z$ tengan coeficiente 1.

Las rectas $r$ y $s$ son paralelas si $\vec{v_r} \parallel \vec{v_s}$, es decir, si sus coordenadas son proporcionales: $$\frac{-2}{1} = \frac{2}{a} = \frac{-6}{3}$$ Calculamos la razón de proporcionalidad con la primera y tercera fracción: $$-2 = -2$$ Como la razón es constante, igualamos la segunda fracción a este valor: $$\frac{2}{a} = -2 \implies 2 = -2a \implies a = \frac{2}{-2} = -1$$ Para confirmar que son paralelas y no coincidentes, comprobamos si un punto de $r$, por ejemplo $P_r(1, 5, 0)$, pertenece a $s$: $$\frac{1+1}{1} = \frac{5-1}{-1} = \frac{0}{3} \implies 2 \neq -4 \neq 0$$ Como el punto no pertenece, las rectas son estrictamente paralelas para $a = -1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -1}$$

**b) Hallar el ángulo que forman la recta $r$ y el plano de ecuación $-3x + 4y - 4 = 0$.** El ángulo $\alpha$ que forman una recta y un plano se calcula mediante el seno del ángulo entre el vector director de la recta $\vec{v_r}$ y el vector normal al plano $\vec{n_{\pi}}$. - Vector director de $r$: $\vec{v_r} = (-2, 2, -6)$. - Vector normal del plano $\pi : -3x + 4y - 4 = 0$: $\vec{n_{\pi}} = (-3, 4, 0)$. 💡 **Tip:** El vector normal a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es $\vec{n} = (A, B, C)$. En este caso, al no haber término en $z$, su componente es 0.

La fórmula para el ángulo $\alpha$ entre recta y plano es: $$\sin(\alpha) = \frac{|\vec{v_r} \cdot \vec{n_{\pi}}|}{|\vec{v_r}| \cdot |\vec{n_{\pi}}|}$$ Calculamos cada término por separado: 1. **Producto escalar:** $$\vec{v_r} \cdot \vec{n_{\pi}} = (-2)(-3) + (2)(4) + (-6)(0) = 6 + 8 + 0 = 14$$ 2. **Módulo de $\vec{v_r}$:** $$|\vec{v_r}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 4 + 36} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}$$ 3. **Módulo de $\vec{n_{\pi}}$:** $$|\vec{n_{\pi}}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$ Sustituimos en la fórmula: $$\sin(\alpha) = \frac{|14|}{2\sqrt{11} \cdot 5} = \frac{14}{10\sqrt{11}} = \frac{7}{5\sqrt{11}}$$

Para hallar el valor de $\alpha$, aplicamos la función arcoseno: $$\alpha = \arcsin\left(\frac{7}{5\sqrt{11}}\right)$$ Calculando el valor numérico aproximado: $$\frac{7}{5\sqrt{11}} \approx 0.4221 \implies \alpha \approx 24.97^\circ$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = \arcsin\left(\frac{7}{5\sqrt{11}}\right) \approx 24.97^\circ}$$