Vectores: Perpendicularidad, Dependencia Lineal y Volumen

**a) Dados los vectores $\vec{u} = (2, 1, 0)$, $\vec{v} = (5, 0, 1)$ y $\vec{w} = (a, b, 1)$, calcular $a$ y $b$ para que $\vec{v}$ y $\vec{w}$ sean perpendiculares y además los tres vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ sean linealmente dependientes.** Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es igual a cero: $\vec{v} \perp \vec{w} \iff \vec{v} \cdot \vec{w} = 0$. Calculamos el producto escalar de $\vec{v} = (5, 0, 1)$ y $\vec{w} = (a, b, 1)$: $$\vec{v} \cdot \vec{w} = 5 \cdot a + 0 \cdot b + 1 \cdot 1 = 5a + 1$$ Igualamos a cero para obtener el valor de $a$: $$5a + 1 = 0 \implies 5a = -1 \implies a = -\frac{1}{5}$$ 💡 **Tip:** El producto escalar de dos vectores $(x_1, y_1, z_1)$ y $(x_2, y_2, z_2)$ se calcula como $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$. $$\boxed{a = -\frac{1}{5}}$$

Para que tres vectores en $\mathbb{R}^3$ sean linealmente dependientes, el determinante de la matriz formada por sus componentes debe ser igual a cero. Formamos la matriz $M$ con los vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$: $$|M| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 1 \\ a & b & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante mediante la regla de Sarrus: $$|M| = (2 \cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot a) + (0 \cdot 5 \cdot b) - [ (a \cdot 0 \cdot 0) + (b \cdot 1 \cdot 2) + (1 \cdot 5 \cdot 1) ]$$ $$|M| = 0 + a + 0 - (0 + 2b + 5) = a - 2b - 5$$ Para que sean linealmente dependientes: $$a - 2b - 5 = 0$$ 💡 **Tip:** Si el determinante es cero, el rango de la matriz es menor que 3, lo que implica que los vectores no son linealmente independientes.

Ya conocemos el valor de $a = -\frac{1}{5}$ del primer paso. Sustituimos este valor en la ecuación del determinante para hallar $b$: $$-\frac{1}{5} - 2b - 5 = 0$$ Multiplicamos toda la ecuación por $5$ para eliminar denominadores: $$-1 - 10b - 25 = 0$$ $$-10b - 26 = 0$$ $$-10b = 26 \implies b = -\frac{26}{10} = -\frac{13}{5}$$ Por tanto, los valores buscados son: ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{a = -\frac{1}{5}, \quad b = -\frac{13}{5}}$$

**b) Calcular el volumen del paralelepípedo que forman $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{z} = (1, 2, 1)$** El volumen $V$ de un paralelepípedo formado por tres vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{z}$ es igual al valor absoluto de su producto mixto: $V = |[\vec{u}, \vec{v}, \vec{z}]|$. El producto mixto se calcula mediante el determinante de la matriz que forman los vectores: $$V = | \det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{z}) |$$ 💡 **Tip:** El volumen siempre debe ser un valor positivo, por eso aplicamos el valor absoluto al resultado del determinante.

Calculamos el determinante de los vectores $\vec{u} = (2, 1, 0)$, $\vec{v} = (5, 0, 1)$ y $\vec{z} = (1, 2, 1)$: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$= (2 \cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 1) + (0 \cdot 5 \cdot 2) - [ (1 \cdot 0 \cdot 0) + (2 \cdot 1 \cdot 2) + (1 \cdot 5 \cdot 1) ]$$ $$= 0 + 1 + 0 - (0 + 4 + 5) = 1 - 9 = -8$$ Calculamos el volumen tomando el valor absoluto: $$V = |-8| = 8 \text{ unidades}^3$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{V = 8 \text{ u}^3}$$