Estudio del rango de una matriz con parámetro

Para estudiar el rango de la matriz $A$, el primer paso es calcular su determinante y ver para qué valores del parámetro $m$ se anula. El rango será máximo (3 en este caso) cuando el determinante sea distinto de cero. Calculamos $|A|$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2m & 1 & 1 \\ 2 & m & 1 \\ 2 & 1 & m \end{vmatrix}$$ $$|A| = (2m \cdot m \cdot m) + (1 \cdot 1 \cdot 2) + (1 \cdot 2 \cdot 1) - [ (1 \cdot m \cdot 2) + (2m \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot 2 \cdot m) ]$$ $$|A| = 2m^3 + 2 + 2 - (2m + 2m + 2m)$$ $$|A| = 2m^3 + 4 - 6m$$ Ordenando el polinomio, obtenemos: $$|A| = 2m^3 - 6m + 4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Si el determinante de una matriz $3 \times 3$ es distinto de cero, su rango es 3.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $m$: $$2m^3 - 6m + 4 = 0$$ Dividimos toda la ecuación entre 2 para simplificar: $$m^3 - 3m + 2 = 0$$ Buscamos raíces enteras usando la regla de Ruffini. Probamos con $m = 1$: $$ \begin{array}{r|rrrr} & 1 & 0 & -3 & 2 \\ 1 & & 1 & 1 & -2 \\ \hline & 1 & 1 & -2 & 0 \\ \end{array} $$ Obtenemos que $m=1$ es una raíz. El polinomio factorizado es $(m-1)(m^2+m-2)=0$. Resolvemos la ecuación de segundo grado $m^2+m-2=0$: $$m = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Las soluciones son: - $m_1 = \frac{2}{2} = 1$ - $m_2 = \frac{-4}{2} = -2$ Por tanto, los valores que anulan el determinante son **$m = 1$ (raíz doble)** y **$m = -2$**.

**Caso 1: $m \neq 1$ y $m \neq -2$** Si el parámetro $m$ toma cualquier valor distinto de $1$ y $-2$, el determinante de la matriz es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Como existe un menor de orden 3 no nulo (la propia matriz $A$): $$\boxed{\text{si } m \neq 1, -2 \implies \text{rg}(A) = 3}$$

**Caso 2: $m = 1$** Sustituimos $m = 1$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 2(1) & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que las tres filas de la matriz son idénticas ($F_1 = F_2 = F_3$). Esto implica que solo hay una fila linealmente independiente. Como la matriz no es nula (tiene elementos distintos de 0), el rango es 1: $$\boxed{\text{si } m = 1 \implies \text{rg}(A) = 1}$$

**Caso 3: $m = -2$** Sustituimos $m = -2$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} -4 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos ahora si existe algún menor de orden 2 cuyo determinante sea distinto de cero. Tomamos, por ejemplo, el menor formado por las dos primeras filas y columnas: $$\begin{vmatrix} -4 & 1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = (-4)(-2) - (1)(2) = 8 - 2 = 6 \neq 0$$ Al existir un menor de orden 2 distinto de cero, el rango de la matriz es 2: $$\boxed{\text{si } m = -2 \implies \text{rg}(A) = 2}$$ 💡 **Tip:** Para demostrar que el rango es 2, basta con encontrar un solo menor de orden 2 que no sea nulo.