Operaciones con matrices, matriz inversa y ecuaciones matriciales

**a) Calcular la inversa de la matriz $A + A^t$, donde $A^t$ es la traspuesta de $A$. (1 punto)** En primer lugar, calculamos la matriz traspuesta de $A$, denotada por $A^t$, intercambiando sus filas por columnas: $$A^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora, definimos una nueva matriz $B = A + A^t$ realizando la suma elemento a elemento: $$B = A + A^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+1 & -1+0 & 0-1 \\ 0-1 & 1+1 & 2-1 \\ -1+0 & -1-1 & 0+0 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{B = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para sumar matrices deben tener la misma dimensión y que la traspuesta se obtiene convirtiendo la fila $i$ en la columna $i$.

Para que una matriz sea invertible, su determinante debe ser distinto de cero. Calculamos el determinante de $B$ mediante la regla de Sarrus: $$|B| = \begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \\ -1 & -2 & 0 \end{vmatrix}$$ $$|B| = (2 \cdot 2 \cdot 0) + (-1 \cdot 1 \cdot (-1)) + (-1 \cdot (-1) \cdot (-2)) - [(-1 \cdot 2 \cdot (-1)) + (2 \cdot 1 \cdot (-2)) + (-1 \cdot (-1) \cdot 0)]$$ $$|B| = (0 + 1 - 2) - [2 - 4 + 0] = -1 - (-2) = -1 + 2 = 1$$ Como **$|B| = 1 \neq 0$**, la matriz $B$ es regular y, por tanto, **existe su inversa $B^{-1}$**. 💡 **Tip:** El determinante es el primer paso crítico. Si $|B|=0$, no podrías continuar buscando la inversa.

Utilizamos la fórmula: $B^{-1} = \frac{1}{|B|} (\text{Adj}(B))^t$. Calculamos los adjuntos $B_{ij}$ de cada elemento: - $B_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = 2$ ; $B_{12} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ ; $B_{13} = +\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = 4$ - $B_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = 2$ ; $B_{22} = +\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ ; $B_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = 5$ - $B_{31} = +\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1$ ; $B_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -1$ ; $B_{33} = +\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 3$ La matriz de adjuntos es $\text{Adj}(B) = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 2 & -1 & 5 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$. Trasponemos la matriz de adjuntos: $(\text{Adj}(B))^t = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 4 & 5 & 3 \end{pmatrix}$. Como $|B|=1$, la inversa es directamente esta traspuesta: ✅ **Resultado:** $$\boxed{(A+A^t)^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 4 & 5 & 3 \end{pmatrix}}$$

**b) Encontrar la matriz $X$ que verifica $XA + XA^t = C$. (1 punto)** Partimos de la ecuación $XA + XA^t = C$. Aplicando la propiedad distributiva del producto de matrices respecto a la suma (por la derecha), podemos sacar factor común la matriz $X$: $$X(A + A^t) = C$$ Llamamos $B = A + A^t$, por lo que la ecuación queda como $X \cdot B = C$. Para despejar $X$, multiplicamos por la derecha por la inversa $B^{-1}$ en ambos miembros: $$X \cdot B \cdot B^{-1} = C \cdot B^{-1}$$ $$X \cdot I = C \cdot B^{-1}$$ $$X = C \cdot B^{-1}$$ Donde $B^{-1}$ es la matriz calculada en el apartado anterior. 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden importa. Como $B$ está a la derecha de $X$, debemos multiplicar por $B^{-1}$ por la derecha.

Realizamos el producto de las matrices $C$ (dimensión $2 \times 3$) y $B^{-1}$ (dimensión $3 \times 3$): $$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 4 & 5 & 3 \end{pmatrix}$$ Calculamos cada elemento de $X$: - $x_{11} = 0(2) + 1(-1) + (-1)(4) = -5$ - $x_{12} = 0(2) + 1(-1) + (-1)(5) = -6$ - $x_{13} = 0(1) + 1(-1) + (-1)(3) = -4$ - $x_{21} = 3(2) + 0(-1) + (-1)(4) = 6 - 4 = 2$ - $x_{22} = 3(2) + 0(-1) + (-1)(5) = 6 - 5 = 1$ - $x_{23} = 3(1) + 0(-1) + (-1)(3) = 3 - 3 = 0$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -5 & -6 & -4 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}}$$