Intersección recta-plano y distancias en el espacio

**a) Sea $r$ la recta que es perpendicular a $\pi$ y pasa por $P$. Calcule el punto de intersección de $\pi$ con $r$.** Si la recta $r$ es perpendicular al plano $\pi$, su vector director $\vec{v_r}$ debe ser el mismo que el vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. A partir de la ecuación del plano $\pi: x + 2y - 2z + 7 = 0$, obtenemos su vector normal: $$\vec{n_\pi} = (1, 2, -2)$$ Como la recta pasa por $P(1, 3, 0)$, sus ecuaciones paramétricas son: $$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 3 + 2\lambda \\ z = -2\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es perpendicular a un plano, el vector normal del plano sirve como vector director de la recta.

Para hallar el punto de intersección $Q = r \cap \pi$, sustituimos las expresiones de $x, y, z$ de la recta en la ecuación del plano: $$(1 + \lambda) + 2(3 + 2\lambda) - 2(-2\lambda) = -7$$ Resolvemos la ecuación para $\lambda$: $$1 + \lambda + 6 + 4\lambda + 4\lambda = -7$$ $$9\lambda + 7 = -7$$ $$9\lambda = -14 \implies \lambda = -\frac{14}{9}$$ Ahora calculamos las coordenadas del punto $Q$ sustituyendo el valor de $\lambda$ en las paramétricas de $r$: - $x = 1 - \frac{14}{9} = \frac{9 - 14}{9} = -\frac{5}{9}$ - $y = 3 + 2\left(-\frac{14}{9}\right) = 3 - \frac{28}{9} = \frac{27 - 28}{9} = -\frac{1}{9}$ - $z = -2\left(-\frac{14}{9}\right) = \frac{28}{9}$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{Q = \left( -\frac{5}{9}, -\frac{1}{9}, \frac{28}{9} \right)}$$

**b) Calcule la distancia $d$ del punto $P$ al plano $\pi$.** Utilizamos la fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ En nuestro caso, $P(1, 3, 0)$ y el plano es $x + 2y - 2z + 7 = 0$: $$d = \frac{|1(1) + 2(3) - 2(0) + 7|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}}$$ $$d = \frac{|1 + 6 + 0 + 7|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|14|}{\sqrt{9}} = \frac{14}{3}$$ 💡 **Tip:** La distancia también se podría haber calculado como el módulo del vector $\vec{PQ}$, siendo $Q$ el punto de intersección hallado en el apartado anterior. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d = \frac{14}{3} \text{ unidades}}$$

**c) Calcule la ecuación de otro plano $\pi'$ que sea paralelo a $\pi$ y que también esté a distancia $d$ de $P$.** Un plano $\pi'$ paralelo a $\pi: x + 2y - 2z + 7 = 0$ tendrá la misma forma para sus coeficientes de $x, y, z$, variando solo el término independiente: $$\pi': x + 2y - 2z + D' = 0$$ Sabemos que la distancia de $P(1, 3, 0)$ a este plano $\pi'$ debe ser $d = \frac{14}{3}$: $$\frac{|1(1) + 2(3) - 2(0) + D'|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{14}{3}$$ $$\frac{|7 + D'|}{3} = \frac{14}{3} \implies |7 + D'| = 14$$ Esto nos da dos posibilidades: 1. $7 + D' = 14 \implies D' = 7$ (Este es el plano original $\pi$) 2. $7 + D' = -14 \implies D' = -21$ Por tanto, el nuevo plano $\pi'$ es: $$x + 2y - 2z - 21 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi': x + 2y - 2z = 21}$$