Optimización de área de un rectángulo y recta tangente

**a) Compruebe que, de entre todos estos rectángulos, el que tiene $x = \frac{1}{2}$ es el de área máxima. ¿Cuál es el valor de esta área?** El rectángulo tiene sus vértices en $(0,0)$, $(x,0)$, $(0,y)$ y $(x,y)$. Dado que el punto $(x,y)$ pertenece a la curva $y = e^{-2x}$, las dimensiones del rectángulo son: - Base: $b = x$ - Altura: $h = y = e^{-2x}$ La función área $A(x)$ que queremos maximizar es el producto de la base por la altura: $$A(x) = x \cdot e^{-2x}$$ Como el enunciado indica que $x \gt 0$, el dominio de nuestra función es $(0, +\infty)$. 💡 **Tip:** En problemas de optimización, el primer paso es siempre expresar la magnitud a optimizar como función de una sola variable y definir su dominio.

Para encontrar los extremos relativos, calculamos la primera derivada $A'(x)$ usando la regla del producto: $$A'(x) = (x)' \cdot e^{-2x} + x \cdot (e^{-2x})'$$ $$A'(x) = 1 \cdot e^{-2x} + x \cdot (-2 e^{-2x})$$ $$A'(x) = e^{-2x}(1 - 2x)$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$e^{-2x}(1 - 2x) = 0$$ Como la función exponencial $e^{-2x}$ nunca es cero ($e^{-2x} \gt 0$ para todo $x$), la única solución posible es: $$1 - 2x = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$$ $$\boxed{x = 0,5}$$

Para comprobar que en $x = \frac{1}{2}$ hay un máximo, estudiamos el signo de $A'(x)$ a ambos lados del punto crítico. Como $e^{-2x}$ siempre es positivo, el signo de $A'(x)$ depende únicamente del factor $(1 - 2x)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 1/2) & 1/2 & (1/2, +\infty)\\\hline 1-2x & + & 0 & -\\ \hline A'(x) & + & 0 & -\\ \hline A(x) & \text{Creciente (\nearrow)} & \text{Máximo} & \text{Decreciente (\searrow)} \end{array}$$ Al pasar de crecer a decrecer, confirmamos que existe un **máximo absoluto** en $x = 1/2$. Calculamos el valor del área máxima sustituyendo $x = 1/2$ en $A(x)$: $$A\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot e^{-2(1/2)} = \frac{1}{2} \cdot e^{-1} = \frac{1}{2e}$$ ✅ **Resultado (área máxima):** $$\boxed{A_{máx} = \dfrac{1}{2e} \approx 0,1839 \text{ unidades de área}}$$

**b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la función $y = e^{-2x}$ en el punto de abscisa $x = 0$, y su punto de corte con el eje de abscisas.** La ecuación de la recta tangente en $x = a$ es $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. 1. Calculamos la imagen en $x = 0$: $$f(0) = e^{-2(0)} = e^0 = 1$$ El punto de tangencia es $(0, 1)$. 2. Calculamos la pendiente ($m = f'(0)$). Derivamos $f(x) = e^{-2x}$: $$f'(x) = -2e^{-2x}$$ $$f'(0) = -2e^0 = -2$$ 3. Sustituimos en la fórmula: $$y - 1 = -2(x - 0) \implies y = -2x + 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto coincide con el valor de la derivada de la función en dicho punto. ✅ **Resultado (recta tangente):** $$\boxed{y = -2x + 1}$$

Para hallar el punto de corte con el eje de abscisas (eje $OX$), igualamos la coordenada $y$ a cero en la ecuación de la recta obtenida: $$0 = -2x + 1$$ $$2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$$ El punto de corte tiene coordenadas $(x, 0)$. ✅ **Resultado (punto de corte):** $$\boxed{P\left(\frac{1}{2}, 0\right)}$$