Probabilidad y diagnóstico de arritmias

En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema para organizar la información: - $A$: La persona padece una arritmia. - $\bar{A}$: La persona no padece una arritmia. - $H^+$: El diagnóstico del monitor Holter es positivo. - $H^-$: El diagnóstico del monitor Holter es negativo. Del enunciado extraemos las siguientes probabilidades: - $P(A) = 0,20$ - $P(\bar{A}) = 1 - 0,20 = 0,80$ - $P(H^+ | A) = 0,95$ (Sensibilidad) - $P(H^- | A) = 1 - 0,95 = 0,05$ (Falsos negativos) - $P(H^+ | \bar{A}) = 0,005$ (Falsos positivos) - $P(H^- | \bar{A}) = 1 - 0,005 = 0,995$ (Especificidad) Podemos representar esta situación mediante un **árbol de probabilidad**:

**a) Si se escogen 4 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas padezca arritmias?** Este es un experimento binomial donde estudiamos el número de personas con arritmia en un grupo de $n = 4$ personas, con una probabilidad de éxito (padecer arritmia) $p = P(A) = 0,2$. Si definimos $X$ como la variable aleatoria "número de personas con arritmia", tenemos que $X \sim B(4; 0,2)$. Se nos pide $P(X \ge 1)$. La forma más sencilla de calcularlo es mediante el suceso contrario (ninguna persona padece arritmia): $$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$$ Calculamos $P(X = 0)$: $$P(X = 0) = \binom{4}{0} \cdot 0,2^0 \cdot 0,8^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0,4096 = 0,4096$$ Sustituimos en la fórmula del suceso contrario: $$P(X \ge 1) = 1 - 0,4096 = 0,5904$$ 💡 **Tip:** En problemas de "al menos uno", casi siempre es más rápido usar $1 - P(\text{ninguno})$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{al menos una}) = 0,5904}$$

**b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona escogida al azar obtenga un diagnóstico positivo de arritmia?** Para calcular la probabilidad total de obtener un diagnóstico positivo $P(H^+)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, considerando que una persona puede dar positivo viniendo del grupo que padece arritmia o del grupo que no la padece: $$P(H^+) = P(A) \cdot P(H^+ | A) + P(\bar{A}) \cdot P(H^+ | \bar{A})$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(H^+) = (0,2 \cdot 0,95) + (0,8 \cdot 0,005)$$ $$P(H^+) = 0,19 + 0,004$$ $$P(H^+) = 0,194$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total suma todas las ramas del árbol que terminan en el suceso deseado (en este caso, $H^+$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(H^+) = 0,194}$$

**c) Si una persona obtiene un diagnóstico negativo en la prueba del Holter, ¿cuál es la probabilidad de que realmente padezca arritmias?** Se nos pide la probabilidad condicionada $P(A | H^-)$. Para resolverlo, aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(A | H^-) = \frac{P(A \cap H^-)}{P(H^-)}$$ Primero, calculamos el denominador $P(H^-)$, que es el suceso contrario a dar positivo: $$P(H^-) = 1 - P(H^+) = 1 - 0,194 = 0,806$$ Ahora calculamos la probabilidad de la intersección (personas que están enfermas pero el test no lo detecta): $$P(A \cap H^-) = P(A) \cdot P(H^- | A) = 0,2 \cdot 0,05 = 0,01$$ Finalmente, calculamos la probabilidad condicionada: $$P(A | H^-) = \frac{0,01}{0,806} \approx 0,0124$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la probabilidad condicionada (conocer la probabilidad de la causa dado el efecto). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A | H^-) \approx 0,0124}$$