Área de un logotipo y estudio de funciones

**a) Calcule las coordenadas de los puntos $A, B$ y $D$.** El punto $A$ es un punto de corte de la función $f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x$ con el eje de abscisas ($y=0$). Para encontrar sus coordenadas, igualamos la función a cero: $$x^3 - 4x^2 + 4x = 0$$ Factorizamos la expresión extrayendo factor común $x$: $$x(x^2 - 4x + 4) = 0$$ Esto nos da una primera solución $x = 0$ (el origen). Para el resto, resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x^2 - 4x + 4 = 0 \implies (x-2)^2 = 0 \implies x = 2$$ Observando la gráfica del logotipo, el punto $A$ corresponde al valor positivo $x=2$ donde la curva toca el eje. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = (2, 0)}$$

Los puntos $B$ y $D$ son los puntos de corte de la función $g(x) = -\left(\frac{x-1}{2}\right)^2 + 4$ con el eje $OX$. Igualamos a cero: $$-\left(\frac{x-1}{2}\right)^2 + 4 = 0 \implies \left(\frac{x-1}{2}\right)^2 = 4$$ Para resolver esta ecuación, aplicamos la raíz cuadrada en ambos lados: $$\frac{x-1}{2} = \pm\sqrt{4} \implies \frac{x-1}{2} = \pm 2$$ Obtenemos dos casos: 1. $\frac{x-1}{2} = 2 \implies x-1 = 4 \implies x = 5$ 2. $\frac{x-1}{2} = -2 \implies x-1 = -4 \implies x = -3$ Según la disposición en el gráfico, $B$ es el punto a la izquierda (valor negativo) y $D$ a la derecha (valor positivo). ✅ **Resultado:** $$\boxed{B = (-3, 0) \quad \text{y} \quad D = (5, 0)}$$

**b) Calcule el área de la zona punteada.** La zona punteada corresponde al área bajo la curva $f(x)$ desde el origen $(x=0)$ hasta el punto $A$ $(x=2)$. Calculamos la integral definida: $$Area_{punteada} = \int_{0}^{2} (x^3 - 4x^2 + 4x) \, dx$$ Calculamos la primitiva término a término: $$\int (x^3 - 4x^2 + 4x) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} = \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + 2x^2$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** entre los límites $0$ y $2$: $$Area = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + 2x^2 \right]_{0}^{2}$$ $$Area = \left( \frac{2^4}{4} - \frac{4 \cdot 2^3}{3} + 2 \cdot 2^2 \right) - (0)$$ $$Area = \left( \frac{16}{4} - \frac{32}{3} + 8 \right) = 4 - \frac{32}{3} + 8 = 12 - \frac{32}{3}$$ $$Area = \frac{36 - 32}{3} = \frac{4}{3} \text{ unidades}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área bajo una curva positiva se calcula directamente con la integral definida en ese intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{Area_{punteada} = \frac{4}{3} \text{ m}^2 \approx 1,33 \text{ m}^2}$$

**c) Los alumnos quieren pintar la parte punteada de color azul y la parte rayada de color rojo. Sabiendo que el área total del logotipo es $\frac{175}{12}\text{ m}^2$, ¿de qué color necesitarán más pintura?** Definimos las áreas: - **Área Azul** (punteada): $A_{azul} = \frac{4}{3} \text{ m}^2 = \frac{16}{12} \text{ m}^2$ - **Área Roja** (rayada): Es el resto del área total del logotipo. Calculamos el área roja restando la azul del total dado: $$A_{roja} = A_{total} - A_{azul} = \frac{175}{12} - \frac{16}{12} = \frac{159}{12} \text{ m}^2$$ Ahora comparamos ambos valores: - $A_{azul} = \frac{16}{12} \text{ m}^2$ - $A_{roja} = \frac{159}{12} \text{ m}^2$ Como $159 \gt 16$, el área roja es considerablemente mayor que el área azul. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Necesitarán más pintura de color rojo}}$$