Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) Discuta el sistema según el valor del parámetro $m$. [1,25 puntos]** Escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & m \\ 1 & m & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & m & -2 \\ 1 & m & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & m \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus para encontrar los valores críticos de $m$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -3 & m \\ 1 & m & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot m \cdot 2) + (-3 \cdot 2 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot m) - (m \cdot m \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-3) \cdot 1)$$ $$|A| = (2m - 6 + m) - (m^2 + 2 - 6) = 3m - 6 - m^2 + 4 = -m^2 + 3m - 2$$ Igualamos a cero para resolver la ecuación de segundo grado: $$-m^2 + 3m - 2 = 0 \implies m^2 - 3m + 2 = 0$$ $$m = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Esto nos da los valores **$m = 1$** y **$m = 2$**. 💡 **Tip:** El determinante de la matriz de coeficientes nos indica si el sistema es compatible determinado (cuando es distinto de cero).

Analizamos los tres casos posibles según el valor de $m$: **Caso 1: $m \neq 1$ y $m \neq 2$** En este caso, $|A| \neq 0$, por lo que $\text{rang}(A) = 3$. Como el número de incógnitas también es 3, por el Teorema de Rouché-Frobenius: $$\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 3 = n \implies \text{SCD (Sistema Compatible Determinado)}$$ **Caso 2: $m = 1$** La matriz ampliada es $A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \end{array}\right)$. Observamos que las filas 2 y 3 tienen los mismos coeficientes pero distinto término independiente ($3 \neq 1$), lo que indica una contradicción. Formalmente, $\text{rang}(A) = 2$ (ya que $|A|=0$ y el menor $\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 4 \neq 0$). Sin embargo, el rango de $A^*$ es 3 porque el menor formado por las columnas 2, 3 y 4 es: $$\begin{vmatrix} -3 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (-6 + 3 - 4) - (-4 - 18 + 1) = -7 - (-21) = 14 \neq 0$$ $$\text{rang}(A) = 2 \neq \text{rang}(A^*) = 3 \implies \text{SI (Sistema Incompatible)}$$ **Caso 3: $m = 2$** La matriz ampliada es $A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \end{array}\right)$. El determinante $|A|=0$ y el menor $\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 5 \neq 0$, por lo que $\text{rang}(A) = 2$. Comprobamos el rango de $A^*$ con el menor de las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (4 - 9 - 2) - (-4 + 3 - 6) = -7 - (-7) = 0$$ $$\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2 \lt n=3 \implies \text{SCI (Sistema Compatible Indeterminado)}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} m \neq 1, 2: \text{SCD} \\ m = 1: \text{SI} \\ m = 2: \text{SCI} \end{cases}}$$

**b) Encuentre la solución del sistema para $m = 0$. [0,5 puntos]** Para $m = 0$, el sistema es compatible determinado. Sustituimos $m = 0$ en el sistema original: $$\begin{cases} x - 3y = -2 & (1) \\ x + 2z = 3 & (2) \\ x + y + 2z = 0 & (3) \end{cases}$$ Restamos la ecuación (2) a la (3) para eliminar $x$ y $z$: $$(x + y + 2z) - (x + 2z) = 0 - 3 \implies y = -3$$ Sustituimos $y = -3$ en la ecuación (1): $$x - 3(-3) = -2 \implies x + 9 = -2 \implies x = -11$$ Sustituimos $x = -11$ en la ecuación (2): $$-11 + 2z = 3 \implies 2z = 14 \implies z = 7$$ 💡 **Tip:** Siempre comprueba que la solución obtenida satisface todas las ecuaciones originales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = -11, y = -3, z = 7}$$

**c) Para $m = 2$, dé una solución $(x, y, z)$ del sistema que, además, cumpla $x = 5y$. [0,75 puntos]** Para $m = 2$, el sistema es compatible indeterminado. Las ecuaciones son: $$\begin{cases} x - 3y + 2z = -2 & (1) \\ x + 2y + 2z = 3 & (2) \\ x + y + 2z = 2 & (3) \end{cases}$$ Añadimos la condición adicional $x = 5y$. Podemos usar las ecuaciones (2) y (3) que son más sencillas: De (2): $x + 2y + 2z = 3$ De (3): $x + y + 2z = 2$ Restando (3) de (2): $$(x + 2y + 2z) - (x + y + 2z) = 3 - 2 \implies y = 1$$ Como tenemos la condición $x = 5y$: $$x = 5(1) \implies x = 5$$ Finalmente, sustituimos $x$ e $y$ en la ecuación (3) para hallar $z$: $$5 + 1 + 2z = 2 \implies 6 + 2z = 2 \implies 2z = -4 \implies z = -2$$ Comprobamos en la ecuación (1): $$5 - 3(1) + 2(-2) = 5 - 3 - 4 = -2$$. Se cumple. ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = (5, 1, -2)}$$