Análisis de una función polinómica y Teorema de Bolzano

**a) Justifique que su gráfica corta el eje de abscisas en un punto del intervalo $[-2, 0]$. Dé un intervalo de longitud 0,5 donde se encuentre este punto de corte.** Para justificar que la función corta al eje $X$ (es decir, que existe un $c$ tal que $f(c)=0$), utilizaremos el **Teorema de Bolzano**. 1. **Continuidad**: $f(x) = 3x^{13} + 5x^3 + 2$ es una función polinómica, por lo que es continua en todo $\mathbb{R}$, y en particular, en el intervalo $[-2, 0]$. 2. **Signo en los extremos**: - Calculamos $f(-2)$: $$f(-2) = 3(-2)^{13} + 5(-2)^3 + 2 = 3(-8192) + 5(-8) + 2 = -24576 - 40 + 2 = -24614 \lt 0$$ - Calculamos $f(0)$: $$f(0) = 3(0)^{13} + 5(0)^3 + 2 = 2 \gt 0$$ Como $f(-2) \lt 0$ y $f(0) \gt 0$, existe al menos un punto $c \in (-2, 0)$ tal que $f(c) = 0$. 💡 **Tip:** El Teorema de Bolzano dice que si una función es continua en $[a,b]$ y $f(a) \cdot f(b) \lt 0$, entonces existe al menos un $c \in (a,b)$ tal que $f(c)=0$.

Para encontrar un intervalo de longitud 0,5, evaluamos la función en puntos intermedios del intervalo $[-2, 0]$ hasta encontrar un cambio de signo en un intervalo de dicha amplitud. Probamos con $x = -1$: $$f(-1) = 3(-1)^{13} + 5(-1)^3 + 2 = -3 - 5 + 2 = -6 \lt 0$$ Como $f(-1) \lt 0$ y $f(0) \gt 0$, la raíz está en el intervalo $(-1, 0)$. Este intervalo tiene longitud 1. Probamos con el punto medio de $(-1, 0)$, que es $x = -0,5$: $$f(-0,5) = 3(-0,5)^{13} + 5(-0,5)^3 + 2$$ Como $(-0,5)^{13}$ es un número muy pequeño ($\approx -0,00012$), podemos aproximar: $$f(-0,5) \approx 3(0) + 5(-0,125) + 2 = -0,625 + 2 = 1,375 \gt 0$$ Ahora tenemos: - $f(-1) = -6 \lt 0$ - $f(-0,5) \approx 1,375 \gt 0$ Como hay un cambio de signo entre $-1$ y $-0,5$, el punto de corte se encuentra en dicho intervalo. La longitud del intervalo $[-1; -0,5]$ es exactamente $0,5$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Intervalo: } [-1, -0,5]}$$

**b) Estudie las zonas de crecimiento y de decrecimiento, y los máximos y los mínimos de $y = f(x)$. ¿Cuántos puntos de corte tiene exactamente la gráfica de esta función con el eje de abscisas? Justifique su respuesta.** Calculamos la primera derivada para estudiar la monotonía: $$f'(x) = 13 \cdot 3x^{12} + 3 \cdot 5x^2 = 39x^{12} + 15x^2$$ Para hallar los puntos críticos, igualamos a cero: $$39x^{12} + 15x^2 = 0 \implies 3x^2 (13x^{10} + 5) = 0$$ Las soluciones son: 1. $3x^2 = 0 \implies x = 0$ 2. $13x^{10} + 5 = 0 \implies x^{10} = -\frac{5}{13}$, que no tiene solución real (una potencia par no puede ser negativa). Analizamos el signo de $f'(x)$: Como $x^{12} \ge 0$ y $x^2 \ge 0$ para cualquier $x$ real, y los coeficientes son positivos, se cumple que $f'(x) \ge 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$. En particular, $f'(x) \gt 0$ para todo $x \neq 0$. $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & +\\ \hline f(x) & \nearrow & \text{P. Inf.} & \nearrow \end{array}$$ La función es **estrictamente creciente** en todo su dominio ($\mathbb{R}$). 💡 **Tip:** Si $f'(x) \gt 0$ en un intervalo (salvo puntos aislados), la función es estrictamente creciente. Al no haber cambio de signo en $x=0$, no hay extremo relativo allí, sino un punto de inflexión de tangente horizontal.

Basándonos en el análisis anterior: - **Zonas de crecimiento**: $f(x)$ es creciente en $(-\infty, +\infty)$. - **Máximos y mínimos**: La función **no tiene máximos ni mínimos relativos**, ya que la derivada no cambia de signo. **Número de puntos de corte con el eje de abscisas:** 1. Por el apartado a), sabemos que existe **al menos un** punto de corte (Teorema de Bolzano). 2. Como la función es **estrictamente creciente** en todo $\mathbb{R}$, no puede volver a cruzar el eje $X$. Si cruzara dos veces, por el Teorema de Rolle, la derivada debería anularse en algún punto intermedio y cambiar de signo, lo cual no ocurre de forma que permita el decrecimiento. Por tanto, la gráfica tiene **exactamente un punto de corte** con el eje de abscisas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente en } \mathbb{R}. \text{ Sin máximos ni mínimos. Exactamente 1 punto de corte.}}$$