Posición relativa, planos paralelos y recta perpendicular común

**a) ¿Cuál es su posición relativa? Calcule la ecuación implícita de un plano $\pi$ que sea paralelo a las dos rectas y que pase por el origen de coordenadas.** Primero, extraemos un punto y un vector director de cada recta: - Para la recta $r$ (en forma continua): Punto $P_r = (5, 4, 3)$ y vector director $\vec{v_r} = (4, 3, -1)$. - Para la recta $s$ (en forma paramétrica): Punto $P_s = (4, 3, -1)$ y vector director $\vec{v_s} = (2, 1, 0)$. **1. Estudiar la dependencia lineal de los vectores directores:** Comprobamos si $\vec{v_r}$ y $\vec{v_s}$ son proporcionales: $$\frac{4}{2} \neq \frac{3}{1} \neq \frac{-1}{0}$$ Como los vectores no son proporcionales, las rectas o se cortan en un punto o se cruzan. **2. Analizar el vector que une ambas rectas:** Calculamos el vector $\vec{P_r P_s}$: $$\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (4 - 5, 3 - 4, -1 - 3) = (-1, -1, -4)$$ Calculamos el determinante formado por los tres vectores para ver si son coplanarios: $$\text{det}(\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_r P_s}) = \begin{vmatrix} 4 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & -4 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$= [4 \cdot 1 \cdot (-4) + 3 \cdot 0 \cdot (-1) + (-1) \cdot 2 \cdot (-1)] - [(-1) \cdot 1 \cdot (-1) + 4 \cdot 0 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 \cdot (-4)]$$ $$= [-16 + 0 + 2] - [1 + 0 - 24] = -14 - (-23) = 9$$ Como el determinante es distinto de cero ($9 \neq 0$), los vectores son linealmente independientes. 💡 **Tip:** Si el determinante es cero, las rectas están en el mismo plano (se cortan o son paralelas). Si es distinto de cero, las rectas están en planos diferentes y no se cortan. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan en el espacio.}}$$

Para que un plano $\pi$ sea paralelo a dos rectas, su vector normal $\vec{n_\pi}$ debe ser perpendicular a los vectores directores de ambas rectas. Por tanto, calculamos el producto vectorial: $$\vec{n_\pi} = \vec{v_r} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por adjuntos de la primera fila: $$\vec{i} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n_\pi} = \vec{i}(0 - (-1)) - \vec{j}(0 - (-2)) + \vec{k}(4 - 6) = (1, -2, -2)$$ La ecuación del plano es de la forma $x - 2y - 2z + D = 0$. Como debe pasar por el origen $O(0, 0, 0)$: $$0 - 2(0) - 2(0) + D = 0 \implies D = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi: x - 2y - 2z = 0}$$

**b) Calcule la ecuación de la recta $t$ que corta las dos rectas $r$ y $s$ perpendicularmente.** La recta $t$ debe pasar por un punto $R \in r$ y un punto $S \in s$ de tal forma que el vector $\vec{RS}$ sea perpendicular a $\vec{v_r}$ y a $\vec{v_s}$. Expresamos los puntos genéricos de ambas rectas en función de sus parámetros: - $R(5 + 4\lambda, 4 + 3\lambda, 3 - \lambda)$ - $S(4 + 2k, 3 + k, -1)$ El vector $\vec{RS}$ es: $$\vec{RS} = S - R = (4 + 2k - 5 - 4\lambda, 3 + k - 4 - 3\lambda, -1 - 3 + \lambda)$$ $$\vec{RS} = (2k - 4\lambda - 1, k - 3\lambda - 1, \lambda - 4)$$ Impone la condición de perpendicularidad con los vectores directores: 1. $\vec{RS} \cdot \vec{v_r} = 0 \implies 4(2k - 4\lambda - 1) + 3(k - 3\lambda - 1) - 1(\lambda - 4) = 0$ 2. $\vec{RS} \cdot \vec{v_s} = 0 \implies 2(2k - 4\lambda - 1) + 1(k - 3\lambda - 1) + 0(\lambda - 4) = 0$ Simplificamos el sistema: 1. $8k - 16\lambda - 4 + 3k - 9\lambda - 3 - \lambda + 4 = 0 \implies 11k - 26\lambda - 3 = 0$ 2. $4k - 8\lambda - 2 + k - 3\lambda - 1 = 0 \implies 5k - 11\lambda - 3 = 0$ 💡 **Tip:** Estamos buscando los puntos específicos donde la "distancia mínima" se alcanza, que es donde la perpendicular común corta a ambas.

Resolvemos el sistema: $$\begin{cases} 11k - 26\lambda = 3 \\ 5k - 11\lambda = 3 \end{cases}$$ Multiplicamos la segunda por $-2.2$ o usamos sustitución. Multiplicando la primera por 5 y la segunda por 11: $$\begin{cases} 55k - 130\lambda = 15 \\ 55k - 121\lambda = 33 \end{cases}$$ Restamos la primera a la segunda: $(130 - 121)\lambda = 33 - 15 \implies 9\lambda = 18 \implies \mathbf{\lambda = 2}$. Sustituimos $\lambda = 2$ en la segunda ecuación: $$5k - 11(2) = 3 \implies 5k - 22 = 3 \implies 5k = 25 \implies \mathbf{k = 5}$. Calculamos el punto $R$ (cuando $\lambda = 2$): $$R = (5 + 4(2), 4 + 3(2), 3 - 2) = (13, 10, 1)$$ El vector director de $t$ es el vector normal del plano anterior (ya que es perpendicular a ambas), $\vec{v_t} = (1, -2, -2)$. Podemos usar el punto $R$ y el vector $\vec{v_t}$ para escribir la ecuación de la recta $t$: ✅ **Resultado (Ecuación paramétrica de t):** $$\boxed{t: \begin{cases} x = 13 + m \\ y = 10 - 2m \\ z = 1 - 2m \end{cases}}$$