Optimización del área de un decorado

**a) Determine el perímetro y el área del decorado a construir en función de $x$ y de $y$.** El decorado está compuesto por un rectángulo de base $x$ y altura $y$, y dos semicírculos en los laterales. Si los semicírculos están pegados a los lados verticales de altura $y$, su diámetro es $y$ y, por tanto, su radio es $r = y/2$. 1. **Perímetro ($P$):** El contorno exterior está formado por los dos lados horizontales del rectángulo ($x + x$) y las dos longitudes de las semicircunferencias. Dos semicircunferencias de radio $r$ forman una circunferencia completa de radio $r = y/2$. $$P = x + x + 2\pi r = 2x + 2\pi\left(\frac{y}{2}\right) = 2x + \pi y$$ 2. **Área ($A$):** El área total es la suma del área del rectángulo y el área de los dos semicírculos (que juntos forman un círculo completo de radio $y/2$). $$A = x \cdot y + \pi r^2 = xy + \pi \left(\frac{y}{2}\right)^2 = xy + \frac{\pi y^2}{4}$$ 💡 **Tip:** El perímetro de una circunferencia completa es $L = 2\pi r$ y su área es $S = \pi r^2$. Aquí, al tener dos semicírculos iguales, trabajamos con un círculo completo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(x, y) = 2x + \pi y, \quad A(x, y) = xy + \frac{\pi y^2}{4}}$$

**b) Para revestir el perímetro del decorado, Carles tiene material para cubrir hasta $10\text{ m}$. Si lo quiere gastar todo, ¿cuáles serán las medidas del decorado de área máxima que podrá construir? ¿Cuál es el valor de esta área?** Sabemos que el perímetro es constante, $P = 10$. Utilizamos la fórmula del apartado anterior para despejar una variable: $$2x + \pi y = 10 \implies 2x = 10 - \pi y \implies x = 5 - \frac{\pi y}{2}$$ Ahora, sustituimos $x$ en la fórmula del área para obtener una función que dependa solo de $y$: $$A(y) = \left(5 - \frac{\pi y}{2}\right)y + \frac{\pi y^2}{4}$$ $$A(y) = 5y - \frac{\pi y^2}{2} + \frac{\pi y^2}{4}$$ $$A(y) = 5y - \frac{\pi y^2}{4}$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización con restricciones, el primer paso es siempre expresar la función objetivo en términos de una sola variable usando la condición del enunciado.

Para encontrar el área máxima, derivamos la función $A(y)$ e igualamos a cero: $$A'(y) = 5 - 2 \cdot \frac{\pi y}{4} = 5 - \frac{\pi y}{2}$$ Igualamos a cero para hallar el punto crítico: $$5 - \frac{\pi y}{2} = 0 \implies 5 = \frac{\pi y}{2} \implies y = \frac{10}{\pi}$$ Comprobamos que es un máximo usando la segunda derivada: $$A''(y) = -\frac{\pi}{2}$$ Como $A''(y) \lt 0$ para cualquier valor de $y$, el valor hallado corresponde efectivamente a un **máximo relativo**. Estudio del signo de $A'(y)$: $$\begin{array}{c|ccc} y & (0, 10/\pi) & 10/\pi & (10/\pi, 10/\pi)\\\hline A'(y) & + & 0 & - \end{array}$$ 💡 **Tip:** El criterio de la segunda derivada es muy útil en funciones polinómicas de segundo grado; si $f''(x) \lt 0$, el punto es un máximo.

Calculamos el valor de la base $x$ para el valor óptimo de $y = \frac{10}{\pi}$: $$x = 5 - \frac{\pi}{2} \left(\frac{10}{\pi}\right) = 5 - 5 = 0$$ Esto significa que la figura de área máxima para un perímetro dado es el **círculo completo** (donde el rectángulo desaparece, $x=0$). Las dimensiones del decorado son: - Altura/Diámetro: $y = \dfrac{10}{\pi} \approx 3,18\text{ m}$ - Base del rectángulo: $x = 0\text{ m}$ Calculamos el valor del área máxima sustituyendo $y$ en $A(y)$: $$A_{máx} = A\left(\frac{10}{\pi}\right) = 5\left(\frac{10}{\pi}\right) - \frac{\pi}{4}\left(\frac{10}{\pi}\right)^2 = \frac{50}{\pi} - \frac{100\pi}{4\pi^2} = \frac{50}{\pi} - \frac{25}{\pi} = \frac{25}{\pi}$$ $$A_{máx} \approx 7,96\text{ m}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 0\text{ m}, \quad y = \frac{10}{\pi}\text{ m}, \quad \text{Área} = \frac{25}{\pi} \approx 7,96\text{ m}^2}$$