Probabilidad total, Bayes y Distribución Binomial

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos que intervienen basándonos en el método de Rut: - $R$: Rut resuelve el problema ella misma. - $I$: Rut copia el problema de Internet. - $C$: El problema resuelto es correcto. - $\bar{C}$: El problema resuelto es incorrecto. Calculamos las probabilidades de los sucesos iniciales a partir del lanzamiento del dado: - $P(R) = P(\{1, 2, 3, 4\}) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$. - $P(I) = P(\{5, 6\}) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$. Las probabilidades condicionadas dadas por el enunciado son: - $P(C|R) = 0,75 = \dfrac{3}{4}$. - $P(C|I) = 0,40 = \dfrac{2}{5}$. Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad:

**a) ¿Cuál es la probabilidad de que la solución de un problema respondido siguiendo este método sea correcta? [0,75 puntos]** Para hallar la probabilidad de que un problema sea correcto, $P(C)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las probabilidades de que el problema sea correcto viniendo de cada una de las dos opciones (Rut o Internet): $$P(C) = P(R) \cdot P(C|R) + P(I) \cdot P(C|I)$$ Sustituyendo los valores que hemos obtenido del enunciado: $$P(C) = \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} \right)$$ $$P(C) = \frac{1}{2} + \frac{2}{15}$$ Calculamos el común denominador ($30$): $$P(C) = \frac{15}{30} + \frac{4}{30} = \frac{19}{30} \approx 0,6333$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total permite calcular la probabilidad de un suceso final sumando todas las formas posibles de llegar a él. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C) = \dfrac{19}{30} \approx 0,6333}$$

**b) ¿Cuál es la probabilidad de que un problema haya sido resuelto por Rut si se sabe que la solución es correcta? [0,75 puntos]** Nos piden la probabilidad de que el problema haya sido resuelto por Rut dado que sabemos que es correcto, es decir, la probabilidad condicionada $P(R|C)$. Utilizamos el **Teorema de Bayes**: $$P(R|C) = \frac{P(R) \cdot P(C|R)}{P(C)}$$ Ya conocemos todos los valores del apartado anterior: - Numerador (Probabilidad de que sea Rut y sea correcto): $P(R \cap C) = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}$. - Denominador (Probabilidad total de que sea correcto): $P(C) = \dfrac{19}{30}$. Sustituimos: $$P(R|C) = \frac{1/2}{19/30} = \frac{1}{2} \cdot \frac{30}{19} = \frac{15}{19} \approx 0,7895$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa cuando conocemos el resultado final (es correcto) y queremos saber la probabilidad de una de las causas que lo provocó. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R|C) = \dfrac{15}{19} \approx 0,7895}$$

**c) Mañana Rut tiene que entregar 5 problemas de matemáticas. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 4 sean correctos? [1 punto]** Estamos ante un experimento que se repite $n=5$ veces de forma independiente (cada problema es una repetición). En cada repetición solo hay dos resultados posibles: el problema es correcto (éxito) o no lo es (fracaso). Definimos la variable aleatoria $X$ como el número de problemas correctos de entre los 5 entregados. La distribución de $X$ es una **Binomial**: $$X \sim B(n, p) = B\left(5, \frac{19}{30}\right)$$ Donde: - $n = 5$ (número total de problemas). - $p = P(C) = \dfrac{19}{30} \approx 0,6333$ (probabilidad de éxito en un problema). - $q = 1 - p = \dfrac{11}{30} \approx 0,3667$ (probabilidad de fracaso). 💡 **Tip:** La fórmula de la probabilidad para una Binomial es $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$, donde $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Queremos calcular la probabilidad de que el número de aciertos sea **al menos 4**, es decir, $P(X \ge 4)$: $$P(X \ge 4) = P(X=4) + P(X=5)$$ Calculamos cada término por separado: 1. Para $X=4$: $$P(X=4) = \binom{5}{4} \left(\frac{19}{30}\right)^4 \left(\frac{11}{30}\right)^1 = 5 \cdot \frac{130321}{810000} \cdot \frac{11}{30} = \frac{7167655}{24300000}$$ 2. Para $X=5$: $$P(X=5) = \binom{5}{5} \left(\frac{19}{30}\right)^5 \left(\frac{11}{30}\right)^0 = 1 \cdot \frac{2476099}{24300000} \cdot 1 = \frac{2476099}{24300000}$$ Sumamos ambas probabilidades: $$P(X \ge 4) = \frac{7167655 + 2476099}{24300000} = \frac{9643754}{24300000}$$ Simplificando u operando en decimales: $$P(X \ge 4) \approx 0,2950 + 0,1019 = 0,3969$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 4) \approx 0,3969}$$