Recta tangente a una parábola y área entre curvas

**a) Determine el valor del parámetro $a$ para el que la recta tangente a $y = f_a(x)$ en el punto de abscisa $x = 1$ pasa por el punto $(2, 13)$.** Primero, hallamos las coordenadas del punto de tangencia evaluando la función en $x = 1$: $$f_a(1) = a(1)^2 + 2(1) + 5 - a = a + 2 + 5 - a = 7$$ Curiosamente, el punto de tangencia es $P(1, 7)$ para cualquier valor de $a$. Calculamos la derivada para obtener la pendiente de la recta tangente: $$f'_a(x) = 2ax + 2$$ La pendiente en $x = 1$ es: $$m = f'_a(1) = 2a(1) + 2 = 2a + 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es el valor de la derivada de la función en la abscisa de dicho punto.

Utilizamos la ecuación de la recta tangente en su forma punto-pendiente: $$y - y_0 = m(x - x_0)$$ Sustituyendo el punto de tangencia $(1, 7)$ y la pendiente $m = 2a + 2$: $$y - 7 = (2a + 2)(x - 1)$$ El enunciado indica que esta recta debe pasar por el punto $(2, 13)$. Sustituimos $x = 2$ e $y = 13$ en la ecuación: $$13 - 7 = (2a + 2)(2 - 1)$$ $$6 = 2a + 2$$ $$4 = 2a \implies a = 2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 2}$$

**b) Calcule los puntos de corte de las parábolas $y = f_1(x)$ e $y = f_3(x)$.** Primero definimos ambas funciones sustituyendo los valores de $a$: - Para $a=1$: $f_1(x) = 1x^2 + 2x + 5 - 1 = x^2 + 2x + 4$ - Para $a=3$: $f_3(x) = 3x^2 + 2x + 5 - 3 = 3x^2 + 2x + 2$ Igualamos las funciones para hallar las abscisas de los puntos de corte: $$x^2 + 2x + 4 = 3x^2 + 2x + 2$$ Simplificamos restando $2x$ en ambos lados: $$x^2 + 4 = 3x^2 + 2$$ $$2 = 2x^2 \implies x^2 = 1 \implies x = 1, \quad x = -1$$ Hallamos las ordenadas correspondientes sustituyendo en $f_1(x)$: - Si $x = 1 \implies y = 1^2 + 2(1) + 4 = 7$ - Si $x = -1 \implies y = (-1)^2 + 2(-1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los puntos de corte son } (1, 7) \text{ y } (-1, 3)}$$

**c) Calcule el área de la región situada entre las dos parábolas $y = f_1(x)$ e $y = f_3(x)$.** El área entre dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ entre dos puntos de corte $x=c_1$ y $x=c_2$ viene dada por: $$A = \int_{c_1}^{c_2} |f(x) - g(x)| \, dx$$ En el intervalo $[-1, 1]$, determinamos qué parábola queda por encima evaluando en un punto intermedio, por ejemplo $x=0$: - $f_1(0) = 4$ - $f_3(0) = 2$ Como $f_1(0) \gt f_3(0)$, la parábola $f_1$ está por encima de $f_3$ en el intervalo de integración. La función diferencia es: $$f_1(x) - f_3(x) = (x^2 + 2x + 4) - (3x^2 + 2x + 2) = -2x^2 + 2$$ 💡 **Tip:** Al restar las funciones para calcular el área, si restas la superior menos la inferior, el resultado de la integral será positivo directamente.

Aplicamos la Regla de Barrow para calcular el área: $$A = \int_{-1}^{1} (-2x^2 + 2) \, dx = \left[ -\frac{2x^3}{3} + 2x \right]_{-1}^{1}$$ Evaluamos en los límites: $$A = \left( -\frac{2(1)^3}{3} + 2(1) \right) - \left( -\frac{2(-1)^3}{3} + 2(-1) \right)$$ $$A = \left( -\frac{2}{3} + 2 \right) - \left( \frac{2}{3} - 2 \right)$$ $$A = \left( \frac{4}{3} \right) - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{8}{3} \text{ u}^2 \approx 2.67 \text{ u}^2}$$