Inversibilidad de matrices y ecuaciones matriciales

**a) Decida si la matriz $P$ es invertible y, en caso de serlo, calcule su inversa. Explique detalladamente el procedimiento seguido.** Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de $P$ utilizando la regla de Sarrus: $$|P| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (2 \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot 0 \cdot 1) + (-1 \cdot 2 \cdot 0) - [(-1 \cdot 1 \cdot 1) + (2 \cdot 0 \cdot 0) + (1 \cdot 2 \cdot 1)]$$ $$|P| = (2 + 0 + 0) - (-1 + 0 + 2) = 2 - 1 = 1$$ Como $|P| = 1 \neq 0$, la matriz **$P$ es invertible**. 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de una matriz es cero, la matriz es singular (no tiene inversa).

Para calcular la matriz inversa usamos la fórmula: $P^{-1} = \dfrac{1}{|P|} (\text{Adj}(P))^t$. Calculamos primero los adjuntos de cada elemento de $P$: - $C_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ - $C_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2$ - $C_{13} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ - $C_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $C_{22} = +\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 - (-1) = 3$ - $C_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(-1) = 1$ - $C_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - (-1) = 1$ - $C_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - (-2)) = -2$ - $C_{33} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 2 = 0$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(P) = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix}$$ Transponemos la adjunta: $$(\text{Adj}(P))^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -2 & 3 & -2 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Como $|P| = 1$, la inversa coincide con la transpuesta de la adjunta: $$\boxed{P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -2 & 3 & -2 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}}$$

**b) Calcule una matriz $X$ de 3 filas y 3 columnas que cumpla $PX + Q = 2R$.** Primero, despejamos la matriz $X$ de la ecuación: 1. Restamos $Q$ en ambos miembros: $PX = 2R - Q$ 2. Como $P$ es invertible, multiplicamos por $P^{-1}$ por la **izquierda** en ambos miembros: $$P^{-1}(PX) = P^{-1}(2R - Q) \implies X = P^{-1}(2R - Q)$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial el orden de los factores es crucial ya que el producto no es conmutativo. Si $P$ está a la izquierda de $X$, debemos multiplicar por $P^{-1}$ también por la izquierda.

Calculamos el término $(2R - Q)$ paso a paso: $$2R = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 2 & 2 & 2 \\ 6 & 4 & 2 \end{pmatrix}$$ $$2R - Q = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 2 & 2 & 2 \\ 6 & 4 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$ Llamemos $B = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix}$ a este resultado.

Finalmente, multiplicamos $P^{-1}$ por $B$: $$X = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -2 & 3 & -2 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos cada elemento fila por columna: - Fila 1: $(1\cdot 0 + (-1)\cdot 0 + 1\cdot 4, \; 1\cdot 2 + (-1)\cdot 0 + 1\cdot 2, \; 1\cdot 4 + (-1)\cdot 0 + 1\cdot 0) = (4, 4, 4)$ - Fila 2: $(-2\cdot 0 + 3\cdot 0 + (-2)\cdot 4, \; -2\cdot 2 + 3\cdot 0 + (-2)\cdot 2, \; -2\cdot 4 + 3\cdot 0 + (-2)\cdot 0) = (-8, -8, -8)$ - Fila 3: $(-1\cdot 0 + 1\cdot 0 + 0\cdot 4, \; -1\cdot 2 + 1\cdot 0 + 0\cdot 2, \; -1\cdot 4 + 1\cdot 0 + 0\cdot 0) = (0, -2, -4)$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 4 & 4 & 4 \\ -8 & -8 & -8 \\ 0 & -2 & -4 \end{pmatrix}}$$